【計算理論】正則語言 ( 正則表達式原子定義 | 正則表達式遞歸定義 | 正則表達式語言原子定義 | 正則表達式語言結構歸納 | 正則表達式語言示例 | 根據正則表達式構造自動機 )

I . 正則表達式 定義

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1 . 正則表達式原子定義 :

如果 $R$ 是

• 字符集 $\Sigma$ 中的 $1$ 個字符 ,
• 空字符串 $\varepsilon$ , 或
• 空集 $\{ \varnothing \}$ ,

那麼稱 $R$ 是正則表達式 ;

2 . 正則表達式遞歸定義 :

如果 $R_1 , R_2$ 是正則表達式 , 那麼

• $R_1 \cup R_2$ 是正則表達式 ;
• $R_1 \circ R_2$ 是正則表達式 ;
• $R_1^*$ 是正則表達式 ;

上述是正則表達式的定義 , 這是一個結構歸納定義 ;

II . 正則表達式語言 原子定義

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正則表達式語言表示方式 : $R$ 是正則表達式 , $L(R)$ 是正則表達式代表的語言 ;

1 . 單個字符代表的語言 :

$L(a) = \{a\}$

$a$ 是字符集中的字符 , 那麼其所代表的的語言是 $\{a\}$ 單元集 , 是由一個元素的字符構成的 ;

2 . 空字符串代表的語言 :

$L(\varepsilon) = \{ \varepsilon \}$

如果 $\varepsilon$ 是正則表達式 , 其所代表的的語言 $L(\varepsilon)$ , 是由空字符串組成的集合 $\{ \varepsilon \}$ ;

3 . 空集代表的語言 :

$L(\varnothing) = \varnothing$

空集 $\varnothing$ 所代表的的語言 , 就是空集 ;

III . 正則表達式語言 結構歸納定義

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1 . 正則表達式並集 的 語言 :

$L(R_1 \cup R_2) = L(R_1) \cup L(R_2)$

$R_1 , R_2$ 是兩個正則表達式 , 其並集的語言 , 就是其 兩個語言的並集 ;

2 . 正則表達式串聯 的 語言 :

$L(R_1 \circ R_2) = L(R_1) \circ L(R_2)$

$R_1 , R_2$ 是兩個正則表達式 , 其串聯運算結果正則表達式的語言 , 就是其 兩個正則表達式語言的 串聯運算結果 ;

3 . 正則表達式星運算 的 語言 :

$L(R^*) = ( L(R) ) ^*$

$R$ 正則表達式 星運算 結果 正則表達式 的語言 , 就是 $R$ 正則表達式的語言 進行 星運算的結果 ;

IV . 正則表達式語言 示例

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字符集 : $\Sigma = \{0, 1\}$ ;

正則表達式 : $( 0 \cup 1 )^* 1 0 ( 0 \cup 1 )^*$ ;

正則表達式轉化成語言 :

$\begin{array}{lcl} && L( ( 0 \cup 1 )^* 1 0 ( 0 \cup 1 )^* ) \\\\ &=& L( ( 0 \cup 1 )^* ) \circ L(1) \circ L(0) \circ L( ( 0 \cup 1 )^* ) \\\\ &=& \{0,1\}^* \circ \{ 1 \} \circ \{ 0 \} \circ \{ 0, 1 \}^* \end{array}$

上述 $\{0,1\}^*$ 就是 $0,1$ 有限個字符串組成的字符 ;

正則表達式表示的語言 , 剛好是自動機所識別的語言 ; 可以根據該語言將自動機設計出來 ;

V . 空集 $\varnothing$ 與 空字符 $\varepsilon$ 差別

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空集 $\varnothing$ 是正則表達式 , 類似於數中的 $0$ ;

空字符 $\varepsilon$ 是正則表達式 , 類似於數中的 $1$ ;

( 後續待補充 )

VI . 正則表達式 定理

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1 . 定理 : 一個語言如果是正則語言 , 當且僅當 , 該語言可以通過正則表達式表示出來 ;

2 . 有以下兩層含義 :

• ① 正則表達式 -> 自動機識別 :正則表達式 表達出的語言 剛好 能夠被自動機識別 ;

• ② 自動機識別 -> 正則表達式 : 自動機識別某個語言 , 那麼該語言可以被正則表達式表達出來 ;

3 . 定理證明 :

① 正則表達式 -> 自動機識別 證明 : 給定一個正則表達式 , 設計一個自動機 , 該自動機所 接受 ( 識別 / 認識 ) 的語言 , 剛好是該正則表達式所表達的語言 ;

下面的 " 根據 正則表達式 語言 構造 自動機 " 小節的示例 , 證明了正則表達式語言必有自動機識別 ;

② 自動機識別 -> 正則表達式 證明 : 給定一個自動機 , 找到其所識別的 正則表達式語言 ;

VII . 根據 正則表達式 語言 構造 自動機 ( 定理正向證明 )

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1 . 需求 : 根據下面的 正則表達式 構造 非確定性有限自動機 ( NFA ) , 剛好能 識別上述正則表達式表示的語言 ;

$( ab \cup a )^*$

構造能識別 $( ab \cup a )^*$ 語言 的 自動機 ;

VIII . 構造原子自動機

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構造原子自動機 : 先構造能接收 單個字符 的自動機 ;

① 接收 $a$ 字符的自動機 : 下面的自動機是可以識別 $a$ 字符串的 ;

② 接收 $b$ 字符的自動機 : 下面的自動機是識別 $b$ 字符串的 ;

IX . 使用 原子自動機 拼裝 正則表達式對應的自動機

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拼裝上述識別單個字符的 自動機 :

1 . 擺放自動機位置 : 將 $2$ 個能識別 $a$ 字符串的自動機 , 與 $1$ 個能識別 $b$ 字符串的自動機 , 按照如下排列放置 ;

2 . $ab$ 對應自動機構造 :

① 自動機連接方式 : $a$ 正則表達式語言 自動機 與 $b$ 正則表達式語言 自動機 是串聯在一起的 ;

② 串聯兩個自動機的狀態 : 使用 $\varepsilon$ 箭頭 , 串聯 $a$ 對應自動機的接受狀態 -> $b$ 對應自動機的開始狀態 ;

③ 修改 前者 的狀態 : 同時將 $a$ 對應自動機的接受狀態 改爲非接受狀態 ;

下面是 $ab$ 正則表達式 表達的語言 對應的自動機表示 :

3 . $ab \cup a$ 對應自動機構造 :

① 添加新開始狀態 : 重新添加一個開始狀態 ;

② 連接並運算前者 : 使用 $\varepsilon$ 箭頭 從這個新添加的開始狀態 指向 $ab$ 自動機開始狀態 ;

③ 連接並運算後者 : 使用 $\varepsilon$ 箭頭 從這個新添加的開始狀態 指向 $a$ 自動機開始狀態 ;

下面是 $ab \cup a$ 正則表達式 表達的語言 對應的自動機表示 :

4 . $( ab \cup a )^*$ 對應自動機構造 :

① 構造方法 : 就是 在 $( ab \cup a )$ 對應自動機的基礎上 , 使用 $\varepsilon$ 箭頭 , 從 接受狀態 指向 開始狀態 ;

② 連接個數 : 所有的接受狀態 , 都 使用 $\varepsilon$ 箭頭 指向開始狀態 , 這裏有兩個接受狀態 , 需要都指向開始狀態 ;