【計算理論】自動機設計 ( 設計自動機 | 確定性自動機設計示例 | 確定性與非確定性 | 自動機中的不確定性 )

設計自動機 ( 語言要求 )

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設計自動機 : 之前是根據給定的自動機 , 找到自動機所能識別的語言 ; 現在是 給定語言 , 設計出能識別該語言的自動機 ;

自動機設計需求 : 設計一個又窮自動機 $M$ , 滿足以下的給定的語言要求 ; 即語言已經存在 , 求自動機 ;

1 . 自動機語言字符集 : $\Sigma = \{0, 1\}$ , 字符集是 $0$ 和 $1$ 組成 , 該自動機語言由 $0 , 1$ 組成 , 如 $0101$ , $100111$ 等 ;

2 . 自動機語言描述 :

① 自動機語言集合 : 自動機 $M$ 所能接受的字符串都放在集合 $A$ 中 , 集合 $A$ 就是該自動機語言 ;

② 自動機語言要求 : 自動機 $M$ 的語言 $A$ 集合 中的字符串中都有 奇數 個 $1$ ;

3 . 接受狀態 與 非接受狀態 : 根據上述自動機語言要求 , 定義接受狀態和非接受狀態 ;

① 接受狀態 : 如果當前輸入的字符串中 , 含有奇數個 $1$ 那麼當前狀態是 接受狀態 ;

② 非接受狀態 : 如果當前輸入字符串中 , 有偶數個 $1$ , 那麼當前的狀態就是 非接受狀態 ;

設計自動機 ( 1 ) 開始狀態

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Start 開始狀態 , 自動機啓動後 , 自動跳轉到 第一個狀態 $S$ ;

設計自動機 ( 2 ) 狀態 $S$ 狀態類型確定

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第一個狀態首先要考慮該狀態是 接受狀態 還是非接受狀態 , 如果是接受狀態 , 使用雙圈表示 , 如果是非接受狀態 , 使用單圈表示 ;

先說結論 : 第一個狀態 $S$ 是 非接受狀態 , 是一個單圈 , 原因如下 :

處於第一個狀態時 , 還沒有讀取任何輸入信息 , 當前讀取 $0$ 個字符 ;

此時有 $0$ 個 $1$ , $0$ 是偶數 , 也就是當前輸入有偶數個 $1$ , 顯然不符合語言的要求 ② 必須包含奇數個 $1$ ;

如果當前的狀態 , 不符合 自動機語言要求 , 那麼需要將當前狀態設置成非接受狀態 ;

此時的 $S$ 狀態就屬於此類情況 , 其不符合 $A$ 語言要求 , 有偶數個 $1$ , 因此 $S$ 狀態是非接受狀態 , 需要使用單圈表示該非接受狀態 ;

當前自動機 $M$ 設計 :

設計自動機 ( 3 ) 狀態 $S$ 輸入輸出分析

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處於 $S$ 狀態時 , 設計自動機的原則是 , 考慮輸入任何指令 , 其狀態改變 , 即輸入 $0$ 指令 , 狀態如何改變 , 輸入 $1$ 指令 , 狀態如何改變 ;

在第一個狀態 $S$ 基礎上 , 如果輸入字符 $0$ , 此時還是有 偶數 個 $1$ , 其要到達的狀態還是非接受狀態 , 這裏將該狀態 繼續指向 它自己 ; 輸入序列 $0$ ;

在第一個狀態 $S$ 基礎上 , 如果輸入字符 $1$ , 此時還是有 奇數 個 $1$ , 此時其要達到一個新的狀態 $T$ , 這個新狀態 符合 $A$ 語言要求 , 有奇數個 $1$ , 是可接受狀態 , 使用雙圈表示 ; 輸入序列 $1$ ;

當前自動機 $M$ 設計 :

$S$ 狀態已經分析完畢 , 下面開始討論 $T$ 狀態的自動機後續設計 ;

設計自動機 ( 4 ) 狀態 $T$ 輸入輸出分析

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處於 $T$ 狀態時 , 設計自動機的原則是 , 考慮輸入任何指令 , 其狀態改變 , 即輸入 $0$ 指令 , 狀態如何改變 , 輸入 $1$ 指令 , 狀態如何改變 ;

$T$ 狀態下 , 如果輸入 $0$ , 此時還是有 $1$ 個 $1$ , 即奇數個 $1$ , 其狀態還是可接受狀態 , 繼續指向該狀態自己 $T$ ; 輸入序列 $00$ ;

$T$ 狀態下 , 如果輸入 $1$ , 此時輸入中出現 $2$ 個 $1$ , 輸入了 偶數 個 $1$ , 其狀態就是 非接受狀態 , 需要 跳轉到 非接受狀態 $S$ , 箭頭從 $T$ 指向 $S$ ; 輸入序列 $01$ ;

當前自動機 $M$ 設計 :

最優自動機

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自動機性能 : 給定一個 自動機語言 $A$ , 那麼根據該語言可以設計出 不同的自動機 , 那麼這些自動機之間的性能肯定是不同的 , 有的自動機性能高 , 有的自動機性能低 ;

最優自動機 : 從上述根據 同一個語言 設計出的多個自動機中 , 肯定能選出一個最優自動機 ;

自動機設計算法

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自動機生成算法 : 自動機是可以使用算法生成的 , 存在一種算法 , 用該算法生成一個 能識別給定語言的 最優的自動機 ;

確定性 與 非確定性

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1 . 確定性 思想 : 自然界一定是確定性的 , 給定一個輸入 , 必定對應唯一一個輸出 ; 如果出現非確定的輸出 , 是由於人的認知有限 , 沒有發現其中的未知變量 ; 隨着科學認知的發展 , 這些不確定性會消除 ; 以牛頓力學爲代表 ;

2 . 非確定性 思想 ( 主流 ) : 自然界是非確定的 , 一個輸入對應 不確定 個輸出 ; 以量子力學爲代表 ;

確定性有窮自動機 的 確定性 , 就是上述確定性思想的應用 ;

下面要將 非確定性思想應用到 自動機設計中 ;

自動機非確定性示例

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上述 自動機 是一個非確定性自動機 , 非確定性主要體現在以下幾個方面 ;

$1$ 個字符輸入對應 $2$ 個輸出 :

當前狀態爲 $q_1$ 時 , 讀取字符 $1$ 時 , 其後繼狀態有兩個 , 既可以跳轉到 $q_1$ 本身狀態 , 又可以跳轉到 $q_2$ 狀態 ;

這個操作是一個非確定性的操作 , 讀取一個字符 , 卻對應了兩個後繼狀態 ;

$0$ 個字符輸入對應 $1$ 個輸出 :

當前狀態爲 $q_2$ 時 , 讀取字符 $0$ 或者 $\varepsilon$ 空字符串 時 , 就可以跳轉到 $q_3$ 狀態 ;

$\varepsilon$ 表示空字符串 , 其類似於自然數中的 $0$ 的概念 ;

$0$ 個字符輸入對應 $0$ 個輸出 :

當前狀態爲 $q_3$ 時 , 爲其輸入字符 $0$ , 其沒有後繼狀態 ;

這個操作也是一個非確定性操作 , 讀取一個字符 , 沒有後繼狀態 ;

自動機中的不確定性 : 不確定性自動機中 , 允許 空字符 或 $1$ 個字符 輸入 , 對應 $0$ 個 或 多個輸出 ;