week11選做題E 多重揹包（二進制拆分）

樣例輸入：
735 3 4 125 6 5 3 350
633 4 500 30 6 100 1 5 0 1
735 0
0 3 10 100 10 50 10 10
樣例輸出：
735
630
0
0

多重揹包的思路和完全揹包的思路相似。
我們可以設f[i][j]表示前i種物品放入一個容量爲V的揹包的最大權值。
狀態轉移方程爲f[i][j]=max{f[i-1][j],f[i-1][j-kw[i]+kvi | k=0,…Ci}，其中，Ci爲第i種物品的個數，w[i]爲該物品的體積。
但是，該方法的複雜度爲
如果數據太大，很容易超時。通過二進制拆分的方法可以優化複雜度。例如，將13拆成1 , 2 , 4 , 13-1-2-4=6，1,2,4可以表示7以內的所有數，而6相當於一個偏移量，使得1,2,4加上6可以表示13以內的所有數，二進制拆分後就變成了01揹包問題。
本題，物品的體積和價值是同一個，即紙幣的面值。
以下是完整代碼：

#include<iostream>
#include<string.h>
#include<string>
#include<algorithm>
using namespace std;
int cash,N;
int f[110000];
int n_k[15],d_k[15];//n_k存儲紙幣數量，d_k存儲紙幣面值 
int v[110000],n[110000];//存儲二進制拆分後的紙幣面值和數量 
int cnt; 
int main()
{
	while(cin>>cash>>N)
	{
		memset(n_k,0,sizeof(n_k));//初始化 
		memset(d_k,0,sizeof(d_k));
		memset(v,0,sizeof(v));
		memset(n,0,sizeof(n));
		memset(f,0,sizeof(f));
		cnt=0;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			cin>>n_k[i]>>d_k[i];
			for(int j=1;j<=n_k[i];j<<1)//二進制拆分 
			{
				v[cnt]=j*d_k[i];
				n[cnt++]=j*d_k[i];
				n_k[i]-=j;
			}
			if(n_k[i]>0)
			{
				v[cnt]=n_k[i]*d_k[i];
				n[cnt++]=n_k[i]*d_k[i];
			}
		}
		for(int i=0;i<cnt;i++)//變成01揹包問題 
		{
			for(int j=cash;j>=n[i];j--)
			{
				f[j]=max(f[j],f[j-n[i]]+v[i]);
			}
		}
		cout<<f[cash]<<endl;
	}
	return 0;
}