主成分分析PCA(Principal Component Analysis),作用是:
聚类 Clustering:把复杂的多维数据点,简化成少量数据点,易于分簇
降维:降低高维数据,简化计算,达到数据降维,压缩,降噪的目的
PCA 的目的就是找到一个低维映射空间,使得数据映射后方差最大。
理论实现:
首先对样本空间为 d d d 维全部的数据中心化,使得均值为 0,即将所有的样本与样本均值相减获得新的样本:
x i = x i − μ
\mathbf { x } _ { i } = \mathbf { x } _ { i } - \mu
x i = x i − μ
也就是说转换后:
1 N ∑ i = 1 N x i = 0 d
\frac { 1 } { N } \sum _ { i = 1 } ^ { N } \mathbf { x } _ { i } = 0_d
N 1 i = 1 ∑ N x i = 0 d
知识补充:
求向量 u 在向量 v 上的投影:
那么根据上图可以列出以下公式
u ′ = d ∣ v ∣ v d = ∣ u ∣ cos θ cos θ = u T ⋅ v ∣ u ∣ ∣ v ∣
\begin{aligned} u ^ { \prime } & = \frac { d } { | v | } v \\ d & = | u | \cos \theta \\ \cos \theta & = \frac { u^T \cdot v } { | u | | v | } \end{aligned}
u ′ d cos θ = ∣ v ∣ d v = ∣ u ∣ cos θ = ∣ u ∣ ∣ v ∣ u T ⋅ v
所以可以解出向量 u u u 在向量 v v v 上的投影 u ′ u^\prime u ′ 为:
u ′ = u T ⋅ v ∣ v ∣ 2 v
u^\prime = \frac { u ^ T \cdot v } { | v | ^ { 2 } } v
u ′ = ∣ v ∣ 2 u T ⋅ v v
那么将向量 v v v 所在直线视为一维空间,那么向量 u u u 映射在该维度的表示为
u v = u T ⋅ v ∣ v ∣ = v T ⋅ u ∣ v ∣
u^v = \frac { u ^ T \cdot v } { | v | } = \frac { v ^ T \cdot u } { | v | }
u v = ∣ v ∣ u T ⋅ v = ∣ v ∣ v T ⋅ u
也就是说映射后的长度(有方向)成为向量 u u u 映射在该维度的表示。
那么现在求取映射后空间,先考虑映射到一维空间,也就是说向一个向量做投影,假如现在向向量 u 1 u _ { 1 } u 1 做投影。
那么由于一开始的中心化操作,使得映射后均值仍然为零:
1 n ∑ i = 1 n u 1 T ∣ u 1 ∣ x i = u 1 T ∣ u 1 ∣ ∑ i = 1 n 1 n x i = 0
\frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { u _ { 1 } ^ { T } } { | u _ { 1 } | } \mathbf x _ { i } = \frac { u _ { 1 } ^ { T } } { | u _ { 1 } | } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { 1 } { n } \mathbf x _ { i } = 0
n 1 i = 1 ∑ n ∣ u 1 ∣ u 1 T x i = ∣ u 1 ∣ u 1 T i = 1 ∑ n n 1 x i = 0
那么映射后的方差有:
1 n ∑ i = 1 n ( u 1 T ∣ u 1 ∣ x i − 0 ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n u 1 T ∣ u 1 ∣ x i x i T u 1 ∣ u 1 ∣ = u 1 T ∣ u 1 ∣ 1 n ∑ i = 1 n x i x i T u 1 ∣ u 1 ∣ = u 1 T ∣ u 1 ∣ S u 1 ∣ u 1 ∣
\frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left( \frac { u _ { 1 } ^ { T } } { | u _ { 1 } | } \mathbf x _ { i } - 0\right) ^ { 2 } = \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \frac { u _ { 1 } ^ { T } } { | u _ { 1 } | } \mathbf x _ { i } \mathbf x _ { i } ^ { T } \frac { u _ { 1 } } { | u _ { 1 } | } = \frac { u _ { 1 } ^ { T } } { | u _ { 1 } | } \frac { 1 } { n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \mathbf x _ { i } \mathbf x _ { i } ^ { T } \frac { u _ { 1 } } { | u _ { 1 } | } =\frac { u _ { 1 } ^ { T } } { | u _ { 1 } | }S \frac { u _ { 1 } } { | u _ { 1 } | }
n 1 i = 1 ∑ n ( ∣ u 1 ∣ u 1 T x i − 0 ) 2 = n 1 i = 1 ∑ n ∣ u 1 ∣ u 1 T x i x i T ∣ u 1 ∣ u 1 = ∣ u 1 ∣ u 1 T n 1 i = 1 ∑ n x i x i T ∣ u 1 ∣ u 1 = ∣ u 1 ∣ u 1 T S ∣ u 1 ∣ u 1
其中 S S S 为数据集的协方差矩阵:
S = 1 n ∑ i , j = 1 n x i T ⋅ x j
S = \frac { 1 } { n } \sum _ { i , j = 1 } ^ { n } \mathbf x _ { i } ^ { T } \cdot \mathbf x _ { j }
S = n 1 i , j = 1 ∑ n x i T ⋅ x j
现在想要映射在该一维空间后数据的方差最大,那么该优化问题为:
max u 1 u 1 T ⋅ S ⋅ u 1 s.t. ∥ u 1 ∥ 2 2 = 1
\begin{aligned} \max _ { u _ { 1 } } \quad & u _ { 1 } ^ { T } \cdot S \cdot u _ { 1 } \\ \text { s.t.} \quad & \left\| u _ { 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 \end{aligned}
u 1 max s.t. u 1 T ⋅ S ⋅ u 1 ∥ u 1 ∥ 2 2 = 1
其中为了方便,将映射向量的长度定为一作为约束条件。为了去掉这一约束条件,使用拉格朗日乘数法转换该最优化问题:
max u 1 { u 1 T ⋅ S ⋅ u 1 + λ ( 1 − ∥ u 1 ∥ 2 2 ) }
\max _ { u _ { 1 } } \left\{ u _ { 1 } ^ { T } \cdot S \cdot u _ { 1 } + \lambda \left( 1 - \left\| u _ { 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } \right) \right\}
u 1 max { u 1 T ⋅ S ⋅ u 1 + λ ( 1 − ∥ u 1 ∥ 2 2 ) }
对于凸优化问题,在最优点出导数为零,所以最优解的必要条件为:
2 u 1 ⋅ S + λ ( − 2 u 1 ) = 0
2 u _ { 1 } \cdot S + \lambda \left( - 2 u _ { 1 } \right) = 0
2 u 1 ⋅ S + λ ( − 2 u 1 ) = 0
也就是说:
S u 1 = λ u 1
S u _ { 1 } = \lambda u _ { 1 }
S u 1 = λ u 1
可以看出 u 1 u _ { 1 } u 1 是协方差矩阵 S S S 的一个特征向量,那么现在代入到原最优化问题:
max u 1 u 1 T ⋅ λ ⋅ u 1 s.t. ∥ u 1 ∥ 2 2 = 1
\begin{aligned} \max _ { u _ { 1 } } \quad & u _ { 1 } ^ { T } \cdot \lambda \cdot u _ { 1 } \\ \text { s.t.} \quad & \left\| u _ { 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 \end{aligned}
u 1 max s.t. u 1 T ⋅ λ ⋅ u 1 ∥ u 1 ∥ 2 2 = 1
可以进一步转换为:
max u 1 λ s.t. ∥ u 1 ∥ 2 2 = 1
\begin{aligned} \max _ { u _ { 1 } } \quad & \lambda \\ \text { s.t.} \quad & \left\| u _ { 1 } \right\| _ { 2 } ^ { 2 } = 1 \end{aligned}
u 1 max s.t. λ ∥ u 1 ∥ 2 2 = 1
也就是说在约束条件下希望该特征值最大。那么推广到多维空间映射,仍然适用。那么最佳的多维空间则由 Top d ′ d^{\prime} d ′ 特征值(最大的d ′ d^{\prime} d ′ 个特征值)所对应的特征向量构成。
那么PCA的具体实现流程 :
1. let x ‾ = 1 N ∑ n = 1 N x n , and let x n ← x n − x ‾ , X T = [ x 1 , ⋯ , x N ] 2. calculate d ~ top eigenvectors w 1 , w 2 , … , w d ~ of X T X 3. return feature transform Φ ( x ) = W ( x − x ‾ )
\begin{aligned} & \text { 1. let }\overline { \mathbf { x } } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 1 } ^ { N } \mathbf { x } _ { n } , \text { and let } \mathbf { x } _ { n } \leftarrow \mathbf { x } _ { n } - \overline { \mathbf { x } } , X^T = [\mathbf x_1,\cdots,\mathbf x_N] \\
& \text { 2. calculate } \tilde { d } \text { top eigenvectors } \mathbf { w } _ { 1 } , \mathbf { w } _ { 2 } , \ldots , \mathbf { w } _ { \tilde { d } } \text { of } \mathbf { X } ^ { T } \mathbf { X } \\
& \text { 3. return feature transform } \mathbf { \Phi } ( \mathbf { x } ) = \mathbf { W } ( \mathbf { x } - \overline { \mathbf { x } } ) \end{aligned}
1. let x = N 1 n = 1 ∑ N x n , and let x n ← x n − x , X T = [ x 1 , ⋯ , x N ] 2. calculate d ~ top eigenvectors w 1 , w 2 , … , w d ~ of X T X 3. return feature transform Φ ( x ) = W ( x − x )