最近在看虎書的時候見到了函數式語言，隨即想到了Lisp，和它的語言寫法——即(write (+ 1 2))這類東西。Lisp語言受到過λ演算的啓發，爲了更好的理解下函數式，便去查找了下λ演算的資料——但是網上資料比較少，折騰了幾日，把它們總結如下。
λ演算是阿隆佐邱奇（Alonzo Church）所發明的，那個時代還活躍着另一位科學家——阿蘭圖靈，就是發明圖靈機的那位。λ演算和圖靈機都做着相同的任務——計算，它是一個非常簡單而且小巧的形式系統，簡單理解，就像幾何原本裏面的幾條公理，通過那幾條公理，就像符號遊戲一般，推導出整本書的所有定理、假設等等。這種有公理和能夠進行推導的就是形式系統，自然地，描述它的就是形式語言。
在λ演算看來，一切都是表達式，包括函數——函數是抽象的表達式。它有三種合法的表達式，或者叫做項：
λ-term: 變量 Variable
首先是變量，是一個標識符，比如x、xy、var這些。注意，不要把變量理解爲一個值，它可以代表任何東西，比如你認爲平行線段永不相交，那麼它就可以當作一個變量，並通過一系列操作推導出其它定理，當然，我們也可以用它表示一個值。
變量有着和一般程序語言類似的規則。當一個變量是在當前作用域下定義的，那麼稱它是綁定的（類比於局部變量），當一個變量是外層作用域定義的，但是本層作用域訪問了，那麼該變量是自由變量（類比逃逸變量）。注意，自由變量還是綁定變量是相對於作用域而言的——對於內層作用域，一個外層作用域的變量是自由的，而外層作用域則認爲它是綁定的。
一個不含自由變量的項被稱作封閉的，或者稱爲組合子。
λ-term: 抽象體 Abstraction
抽象體類似於函數一樣，表達着擁有一個參數（只能是一個參數）的函數，以及它的返回值。例如λx.M，就表示參數爲x，返回值爲M。再來幾個例子：λx.x 表示輸入x就返回x，也就是輸入什麼就返回什麼。λx.y，表示輸入什麼都返回y。可以對比一下這個圖來理解，第二行是一些函數式語言的寫法，第三行是JavaScript的樣貌。
類似於高階函數的概念，一個抽象體的輸入x當然也可以是一個抽象體，自然的，表達式M的結果也可以是抽象體。
抽象體其實就是函數的一種抽象。下面我更多的使用我們熟悉的"函數"一詞來替代它。
λ-term: 應用 Application
其實想像成調用會更加的形象。M N表示傳入參數N，調用M。例如(λx.x) p，應該得到的結果是p——函數的輸入參數是x，表達式的結果也是x，也就是一個輸入什麼就返回什麼的函數，現在我們送入變量p，自然得到的也是p。同樣的，我們可以類比下圖，第二段是很多程序語言的函數調用寫法：
我們再來一個例子：(λx.y)((λx.y) p)得到的結果是y，第一個應用是內層的，它得到y，第二個應用返回自身，得到的還是y。
消除歧義
爲了避免歧義，有兩條約定規則：
1. 函數會儘可能的往右拓展，例如λx.y z表達的是(λx.(yz))，而不是(λx.y) z
2. 從左往右查看它們
其餘情況我們就使用小括號闡明優先級了，就像平時那樣。
多參數函數: 柯里化 Currying
一個函數需要好幾個參數非常正常的。但是我們之前約束了只能有一個參數——怎麼辦？
爲了方便起見，我使用類似JavaScript的語法解釋。例如這個函數：
function F(x, y)
{
return Express;
}
這裏有個多參數函數，它有兩個參數。那麼我們要把它變成一個參數的怎麼處理呢，可以想到的方案之一就是：
function F(x)
{
return function(y)
{
return Express;
}
}
套層娃。翻譯成λ演算的表達：λx.(λy.xy)，xy是我們的表達式，而y是我們的內層函數的變量，x是自由的，即外層函數作用域下的變量。如此一來，我們第一步返回的是一個函數，它只有一個參數y，內層是我們的表達式，接着，我們再調用一次這個返回的函數，得到最終結果：
Result = F(x) (y);
能夠返回函數的函數也是函數式語言的關鍵點：高階函數。
函數內聯: α轉換
爲了方便理解，這裏我選用C/C++語言作爲例子。考慮下面的一個片段，我們手工完成一次函數內聯。
inline int f(int x)
{
int y = x;
return y + 1;
}
int y;
void Apply()
{
x = f(5);
y = 8;
}
如果我們傻傻的直接拷貝過來，名字也不改，程序就變成了這樣子：
int y;
void Apply()
{
int y;
y = 5;
x = y + 1;
y = 8;
}
很顯然這是不可以的（該情況被稱作變量捕獲，即外層變量名被內層變量名覆蓋，y=8不再是全局的y）。注意到，一個程序的運行情況並不會和變量名、函數名有什麼關係，x = y * 2和x_pos = y_pos * 2在做的都是同樣的任務——取得一個變量值，乘以2，儲存到另一個變量中。當然，有例外情況，當一個變量a是自由的，那麼它的名字不能隨意更改，不然就無法對應到正確的位置了。因此，總結一下——一個被綁定的變量名字，並不會影響函數本身，更換另一個名字之後是等價的。
上面這條就是所謂的α轉換。如果我們用λ演算式寫一下，可以這樣表達：
λx.x = λy.y
函數調用: β歸約
計算λ式子就是歸約（reduce，刻意強調下這個詞）過程。例如(λx.E) p，我們將p代入，得到E。將它表述出來就是：
(λx.E) p = E [p / x] = E [x := p]
上面就是β歸約——將E自由變量x（相對於E，x是自由變量）替換爲p。一些地方會使用中間的表達，一些地方使用後面的表達。個人覺得後面的比較清晰，所以用後面的來表達。
我們來理解一下它，用一個類似JavaScript的例子：
function funA(a)
{
return (a + 2);
}
用並不嚴格的λ式寫法，它相當於λa.(a + 2)。現在我們調用funA(5)，即：
(λa.(a + 2)) 5
很顯然，相對於a + 2，變量a是自由變量，因此將a替換爲5：
5 + 2
可以看出，我們得到了想要的結果：7。接下來我們看一個特殊的例子：
(λx.(λy.xy)) y
我們進行代換，針對於(λy.xy)，x是自由變量：
(λy.xy) [ x:= y]
針對於xy，x依然是自由變量，我們簡單的把它放進去，得到：λy.yy。完蛋。變量名錯了。這就是之前提到的內聯問題，外層變量被內層的覆蓋掉了。所以我們要適當的時候α轉換變換一下。我們可以把它換成y'，得到：λy.y'y，這樣就是正確的了。
冗餘消除: η歸約
這個其實很簡單，考慮下面這個JavaScript片段
function(x)
{
return y;
}
我們無論送入任何樣貌的參數x，都沒法改變返回值。所以說，(λx.y) x是可以直接被替換爲y的。概念化一些——對於λx.E，如果E不含綁定變量x，那麼該式子恆等於E。這就是η歸約。
參考資料
除了網絡上各個大佬的專欄、博客外，還有：http://users.monash.edu/~lloyd/tildeFP/Lambda/Ch/01.Calc.html