聲明：
本系列博客是《算法競賽進階指南》+《算法競賽入門經典》+《挑戰程序設計競賽》的學習筆記，~~主要是因爲我三本都買了~~ 按照《算法競賽進階指南》的目錄順序學習，包含書中的少部分重要知識點、例題解題報告及我個人的學習心得和對該算法的補充拓展，僅用於學習交流和複習，無任何商業用途。博客中部分內容來源於書本和網絡（我儘量減少書中引用），由我個人整理總結（~~習題和代碼可全都是我自己敲噠~~）部分內容由我個人編寫而成，如果想要有更好的學習體驗或者希望學習到更全面的知識，請於京東搜索購買正版圖書：《算法競賽進階指南》——作者李煜東，強烈安利，好書不火系列，謝謝配合。

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ACM-ICPC在線模板

用 $Trie$ 樹來處理整數異或問題是真的舒服！

∵ ${\ }$ ${\ }$ ${\ }$ ${\ }$ $KMP$ 可以處理一個字符串在一個字符串上的匹配。
又∵ ${\ }$ ${\ }$ $trie$ 可以處理一個字符串在多個字符串上的匹配。
又∵ ${\ }$ $AC$ 自動機可以處理多個字符串在一個字符串上的匹配。
∴ ${\ }$ ${\ }$ ${\ }$ ${\ }$ ${\ }$ $AC$ 自動機= $KMP$ + $Trie$

$hhhhhhhh......$

來這裏學KMP ~~嚶嚶嚶~~

一、 $Trie$ 樹

$Trie$ 樹（又稱字典樹，前綴樹）是一種樹形結構，是一種哈希樹的變種。典型應用是用於統計，排序和保存大量的字符串（但不僅限於字符串），所以經常被搜索引擎系統用於文本詞頻統計，用於實現字符串快速檢索的多叉樹結構。 $Trie$ 的每個節點都擁有若干個字符指針，若在插入或者檢索字符串時掃描到一個字符 $c$ ，就沿着當前節點 $c$ 字符的指針，走向該指針指向的節點。

Trie樹線性（霧）處理多組字符串匹配問題，而KMP線性處理一對字符串的匹配問題。（據說學會這兩個就可以去學習 $AC$ 自動機啦！）

$Trie$ 是典型的用空間來換時間的做法

其中黑色的球就是字符串尾

~~圖源百度百科~~

$Trie$ 的基本操作

這裏不想用指針（指針容易出錯，寫起來還超級麻煩）所以用數組模擬

0.初始化

注意 $Trie$ 數組存的是結點 $p$ 的 $ch$ 指針指向的結點編號，這裏的ch指針爲了方便被轉化成了一個整數，這點千萬不能忘

僅包含根節點，根節點中所有字符指針均爲空。

// 假設字符串由小寫字母構成
int trie[SIZE][26], tot = 1;

1.插入

注意 $trie$ 數組存的是結點 $p$ 的 $ch$ 指針指向的結點編號，這裏的ch指針爲了方便被轉化成了一個整數，這點千萬不能忘

當需要插入字符串 $S$ 時，我們先令一個指針 $P$ 指向根節點，然後依次掃描 $S$ 中的每一個字符 $c$ ：

若 $P$ 的指向c的指針指向一個已經存在的節點 $Q$ ，則令 $P = Q$ ；
若 $P$ 的指向c的指針爲空，則新建一個節點 $Q$ ，令c的指針指向 $Q$ ，之後令 $P = Q$ ；
當 $S$ 中的所有字符均掃描完畢時，在當前節點 $P$ 上標記其爲一個字符串的末尾。

// Trie的插入
void inserts(char* str){
    int len = strlen(str),p = 1;//p是根結點
    for(int k = 0;k < len;++k){
        int ch = str[k]-'a';//相當於ch字符指針，這裏轉化成了一個整數
        if(trie[p][ch] == 0)//若爲空（當前結點沒有這個字符指針），新建一個ch字符結點Q
            trie[p][ch] = ++tot;//存的是結點編號
        p = trie[p][ch];//p指向Q（不管有沒有這個結點，都要使得p指向Q）
    }
    ed[p] = true;//標記葉子結點等於true
}

2.檢索

注意 $trie$ 數組存的是結點 $p$ 的 $ch$ 指針指向的結點編號，這裏的ch指針爲了方便被轉化成了一個整數，這點千萬不能忘

當需要檢索一個字符串 $S$ 在 $Trie$ 中是否存在時，我們另一個指針P指向根節點，然後依次掃描 $S$ 中的每一個字符 $c$ ：

如果 $P$ 的指向 $c$ 的指針爲空，說明 $S$ 在 $Trie$ 中不存在，結束檢索；
如果 $P$ 的指向 $c$ 的指針指向一個存在的節點 $Q$ ，則令 $P = Q$ ；
當 $S$ 中的所有字符均掃描完畢是，若當前節點 $P$ 被標記爲一個字符串的末尾，說明 $S$ 在 $Trie$ 中存在，否則， $S$ 不存在。

空間複雜度爲 $\Theta(N \times C)$ ，其中 $N$ 爲節點的個數， $C$ 爲字符集的大小。

// Trie的檢索
bool searchs(char* str){
    int len = strlen(str),p = 1;
    for(int k = 0;k < len;++k){
        p = trie[p][str[k]-'a'];//注意trie數組存的是結點p的ch指針，這裏的ch指針爲了方便被轉化爲了一個整數
        if(p == 0)//一旦沒了(非洲警告！)，就說明不存在
            return false;
    }
    return ed[p];//按ed[p]的值來決定，因爲必須到達葉子結點，才爲true
}

二、 $Trie$ 樹例題：

0.luogu P2580 於是他錯誤的點名開始了（模板題）

題目鏈接：https://www.luogu.com.cn/problem/P2580

老規矩先給出一道模板題練練手（~~水水題~~ ）。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<limits.h>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
#define over(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i=t;i>=s;--i)
//#define int __int128
using namespace std;
#undef mid
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//typedef pair<int,int> PII;

const int N=1e6+7;
const ll mod=1e9+7;
const ll INF=1e15+7;
const double EPS=1e-10;
const int p=131;//13331


int n,m;
int trie[N][26],tot = 1;
int ed[N];
void inserts(char* str){
    int len = strlen(str),p = 1;
    for(int k = 0;k<len;++k){
        int ch = str[k]-'a';
        if(trie[p][ch] == 0)
            trie[p][ch] = ++tot;
        p = trie[p][ch];
    }
    ed[p]=true;
}

int val[N];

int searchs(char* str){
    int len = strlen(str),p=1;
    for(int k = 0;k<len;++k){
        p = trie[p][str[k]-'a'];
        if(p == 0)return 0;
        }
    if(!val[p]&&ed[p]){
        val[p]=true;
        return 1;
    }
    else if(!ed[p])return 0;
    else return 2;
}
char str[N];
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    over(i,1,n){

        scanf("%s",str);//糟糕的 scanf 輸入體驗
        inserts(str);
    }
    scanf("%d",&m);
    over(i,1,m){

        scanf("%s",str);
        int ans = searchs(str);
        if(ans == 0)puts("WRONG");
        else if(ans == 1)puts("OK");
        else puts("REPEAT");
    }
    return 0;
}

1.AcWing 142. 前綴統計（Trie樹模板進階題）

題目鏈接：https://www.acwing.com/problem/content/description/145/

首先對於任意一道題，任意一組數據，都要考慮重複數據的情況！

本題要求統計前綴個數,一想到字符串的前綴,我們就應該想到字典樹（前綴樹。
我們把這n個字符串插入到一顆trie樹裏，trie樹的每一個結點都存儲一個整數在ed數組裏，用來記錄該結點是多少個字符串的末尾結點。（因爲要考慮相同數據的情況，這裏不能跟普通的trie樹一樣只是結尾標記）
然後對於每一組詢問，在trie樹裏檢索輸入的字符串T，並在檢索的過程中累加路徑上每個結點的ed值，既是最後的答案。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<limits.h>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
#define over(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i=t;i>=s;--i)
//#define int __int128
using namespace std;
#undef mid
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//typedef pair<int,int> PII;

const int N=1e6+7;
const ll mod=1e9+7;
const ll INF=1e15+7;
const double EPS=1e-10;
const int p=131;//13331

int n,m;
int trie[N][26];
int tot=1;
int ed[N];
char s[N];

void inserts(char* str){
    int len = strlen(str),p = 1;
    for(int k = 0;k < len;++k){
        int ch = str[k]-'a';
        if(trie[p][ch] == 0)
            trie[p][ch] = ++tot;
        p = trie[p][ch];
    }
    ed[p]++;
}

int searchs(char* str){
    int len = strlen(str),p = 1,ans = 0;
    for(int k = 0 ; k < len ; ++k){
        p = trie[p][str[k]-'a'];
        if(p == 0)
            return ans;
        ans += ed[p];//因爲本題求的是前綴，所以要累加路徑上的每個結點的ed值（可能爲0嘛）
    }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    over(i,1,n){
        scanf("%s\n",s);//這個"\n"寫不寫沒有任何區別......
        inserts(s);
    }
    over(i,1,m){
        scanf("%s\n",s);
        printf("%d\n",searchs(s));
    }
    return 0;
}

2.AcWing 143. 最大異或對

首先我們要意識到一點：任何一個整數 $int$ 都可以看成一個 $32$ 位的二進制 $01$ 串(數值小就在前面補0，其中int是 $-2^{32}$ ~ $2^{31}$ ，第一位是符號位，所以只需要循環0 ~ 30位即可)。

我們考慮每一個二元組 $（i,j）$ ，且 $i>j$ ，那麼本題的目標就是想要找到 $A_i\ XOR\ A_j$ 的最大值，也就是說，對於每一個 $i(1<=i<=n)$ ，我們希望找到一個 $j(1<=j<i)$ ，使得 $A_i\ XOR\ A_j$ 的值最大，並輸出這個最大值。

既然可以將這個數轉換爲字符串，那麼就可以用 $trie$ 樹來處理。那麼我們對於每一個數，從高位往低位循環，由於要求異或和，很明顯，異或和爲1那麼值越大，所以我們對於每一位，都儘量選擇與當前的數相反的方向走（因爲是從高位往低位，所以每次貪心1最後的值最大。）我們每一次都走與當前 $A_i$ 這一位相反的位置走,也就是讓 $XOR$ 值最大,如果說沒有路可以走的話,那麼就走相同的路，這個時候 $XOR$ 值不會有任何變化。最後 $max$ 找到最大的這個值即可。
代碼里加了好多註釋，您應該能看懂。

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<bitset>
#include<limits.h>
#define ls (p<<1)
#define rs (p<<1|1)
#define mid (l+r>>1)
#define over(i,s,t) for(register int i=s;i<=t;++i)
#define lver(i,t,s) for(register int i=t;i>=s;--i)
//#define int __int128
using namespace std;
#undef mid
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
//typedef pair<int,int> PII;

const int N=1e5+7;
const ll mod=1e9+7;
const ll INF=1e15+7;
const double EPS=1e-10;
const int p=131;//13331

int n,m;
int trie[N*31][2];
int tot=1;
int ed[N];
char s[N];

void inserts(int x){
    int p = 1;
    lver(k,30,0){//int是2^31,有一位是符號位
        int ch = x>>k&1;//去除第k位的值
        if(trie[p][ch] == 0)
            trie[p][ch] = ++tot;
        p = trie[p][ch];
    }
}

int searchs(int x){
    int p = 1,ans = 0;
    lver(k,30,0){
        int ch = x>>k&1;
        if(trie[p][ch^1]){//儘量取反,有就往反方向走
            p = trie[p][ch^1];
            ans |= (1<<k);//都已經往這邊走了，肯定是走與這一位相反的路，所以異或後肯定是1，所以把ans的這一位置爲1即可
        }//ans |= (1<<k);//ans的第k位，0變成1，1還是1.
        else p = trie[p][ch];//無奈地走相同的路，ans不變
    }
    return ans;
}

int a;
int ans;

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    over(i,1,n){
        scanf("%d",&a);
        inserts(a);
        ans = max(ans,searchs(a));
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

3.AcWing 144. 最長異或值路徑（luogu P4551）

題目鏈接：https://www.luogu.com.cn/problem/P4551

三、 $AC$ 自動機！

$KMP$ 可以處理一個字符串在一個字符串上的匹配。
$trie$ 可以處理一個字符串在多個字符串上的匹配。
$AC$ 自動機可以處理多個字符串在一個字符串上的匹配。
∴ $AC$ 自動機= $KMP$ + $Trie$
$hhhhhhhh......$

掛一個博客就好

$％％％$ $yyb$ 大佬 $tql$

https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/7196308.html

~~其實到也沒有那麼難~~

注：如果您通過本文,有(qi)用(guai)的知識增加了，請您點個贊再離開,如果不嫌棄的話,點個關注再走吧，日更博主每天在線答疑 ! 當然，也非常歡迎您能在討論區指出此文的不足處，作者會及時對文章加以修正 !如果有任何問題，歡迎評論，非常樂意爲您解答！( •̀ ω •́ )✧

0x16.基本數據結構 — Trie樹（字典樹）+ A C 自動機

目錄

用 $Trie$ 樹來處理整數異或問題是真的舒服！

一、 $Trie$ 樹

$Trie$ 的基本操作

0.初始化

1.插入

2.檢索

二、 $Trie$ 樹例題：

0.luogu P2580 於是他錯誤的點名開始了（模板題）

1.AcWing 142. 前綴統計（Trie樹模板進階題）

2.AcWing 143. 最大異或對

3.AcWing 144. 最長異或值路徑（luogu P4551）

三、 $AC$ 自動機！

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0x16.基本數據結構 — Trie樹（字典樹）+ A C 自 動 機

目錄

用TrieTrieTrie樹來處理整數異或問題是真的舒服！

一、TrieTrieTrie樹

TrieTrieTrie的基本操作

0.初始化

1.插入

2.檢索

二、TrieTrieTrie樹例題：

0.luogu P2580 於是他錯誤的點名開始了（模板題）

1.AcWing 142. 前綴統計（Trie樹模板進階題）

2.AcWing 143. 最大異或對

3.AcWing 144. 最長異或值路徑（luogu P4551）

三、ACACAC自動機！

0x16.基本數據結構 — Trie樹（字典樹）+ A C 自動機

用 $Trie$ 樹來處理整數異或問題是真的舒服！

一、 $Trie$ 樹

$Trie$ 的基本操作

二、 $Trie$ 樹例題：

三、 $AC$ 自動機！