哈夫曼樹（數據結構）
前言
哈夫曼樹是二叉樹的應用
一.幾個術語定義
1.路徑
由一結點到另一結點間的分支所構成。
（如1到4的路徑爲1到3,3到4這兩個分支構成）
2.路徑長度
路徑上的分支數目。
（如1到6的路徑長度爲3, 即1到3，3到5,5到6）
3.樹的外部路徑長度（EPL）
各葉結點（外結點）到根結點的路徑長度之和。
（如這棵樹的葉子結點爲2、4、8、7，2的路徑長度爲1,4的路徑長度是2,8的路徑長度爲4,7的路徑長度是3，所以樹的外部路徑長度爲1+2+4+3=10）
4.樹的內部路徑長度（ IPL ）
各非葉結點（內結點）到根結點的路徑長度之和。
5.樹的路徑長度（PL）
PL= EPL+ IPL
IPL = 0+1+2+3 = 6
EPL = 1+2+3+4 = 10
PL = 16
6.權值
爲樹的葉結點賦予一個權值，一般用於表示出現頻度、概率值等。
（就是用於表示葉結點的那個圓圈裏的樹）
7.擴充二叉樹
只有度爲 2 的內結點和度爲 0的外結點。
（沒有度爲1的結點的二叉樹叫做擴充二叉樹）
8.結點的帶權路徑長度
結點到根的路徑長度與結點上權的乘積 （wi*li）。
（結點的帶權路徑長度就是該結點權值與該結點的路徑長度的乘積
如5那個結點的帶權路經長度爲 5*3=15）
9.樹的帶權路徑長度（WPL）
（我們一般關注的是樹的帶權路徑長度）
樹中所有葉子結點的帶權路徑長度之和。
二.哈夫曼樹的定義
對於具有不同帶權路徑長度的擴充二叉樹：
（具有相同權值的葉子結點，它組成了不同的二叉樹，那麼這四個結點形成的二叉樹它的帶權路徑長度是不同的）
• 對於同樣一組權值，放在外結點上，組織方式不同，帶權路徑長度也不同；
• 帶權路徑長度最小的擴充二叉樹叫做哈夫曼樹；
• 哈夫曼樹中權值大的結點離根最近。
（權值最大的葉子結點越靠近根結點，權值最小的葉子結點越遠離根結點）
三.哈夫曼樹的構造
1.基本思想
使權大的結點靠近根
2.構造過程
例：
（1）以5個葉子結點爲例，我們把這個五個權值的結點作爲葉子，構成了一棵有五棵樹的森林。
（2）首先我們從這五棵樹的森林的集合中選取權值最小的兩棵樹，對它進行合併，2、4合併得到了6這個內結點，接下來把2，4刪掉，把6加入進這個集合，此時，這個森林中就包括4棵樹7、5、9、6。
（3）接下來，重複，從新的集合中找的最小的兩棵樹，一個是5，一個是6，在進行合併得到11，再把5、6從集合中刪除，把11加入，這個森林就包括7，9，11三棵樹。
（4）重複，仍然合併兩個最小的7、9得到16，把7、9刪除，插入16，這個森林包含兩棵樹11、16。
（5）同樣，把11和16合併得到27，把11和16刪除，再加入合併後的27，此時這個森林中只剩下一棵樹，這棵樹是一棵二叉樹，我們把這可樹叫做哈夫曼樹。
總結：
操作要點：對權值的合併、刪除與替換，總是合併當前值最小的兩個。
3.構造算法
前提：
性質：一棵有n個葉子結點的Huffman樹有 2*n-1 個結點（2*n-1包括葉子結點和內結點）
存儲定義：
① 採用順序存儲結構（一維數組）
② 結點類型定義
typedef struct //用順序存儲結構（一維數組）來描述結點的定義
{
int weght; //權值
int parent,lch,rch; //指向父結點，還有左孩子、右孩子標識的地址
}*HuffmanTree;
例：
設n=4, w={70,50,20,40}，m=2*4-1=7
①進行存儲四個葉子結點，並且把雙親左孩子右孩子的初始化都是零
②從中選出兩個最小的合併，刪除，插入重讀操作，改變各結點雙親、左孩子、右孩子的值。
③
代碼描述：
（把創建哈夫曼樹的過程封裝爲函數）
typedef struct //用順序存儲結構（一維數組）來描述結點的定義
{
int weght; //權值
int parent,lch,rch; //指向父節點，還有左孩子、右孩子標識的地址
}*HuffmanTree;
void CreatHuffmanTree (HuffmanTree HT,int n)
{
if(n<=1) return; //葉子小於等於1，不合適，不是哈夫曼樹
m=2*n-1; //先算出m，m表示總的結點個數
HT=new HTNode[m+1]; //然後動態分配了m+1個結點
//爲什麼創建m+1個呢？因爲0號單元未用，HT[m]表示根結點，從1到m表示這m個結點
for(i=1;i<=m;++i) //對m個結點，對它的每一個左孩子右孩子雙親都初始化爲0
{
HT[i].lch=0;
HT[i].rch=0;
HT[i].parent=0;
}
for(i=1;i<=n;++i) //輸入所有葉子結點的權值
cin>>HT[i].weight;
for( i=n+1;i<=m;++i) //構造 Huffman樹：每次選兩個最小的，然後把它們的雙親、左孩子、右孩子改一下
{
Select(HT,i-1, s1, s2);
//每次（在這棵樹的葉子結點中）在HT[k](1≤k≤i-1)中選擇兩個其雙親域爲0,
// 並且權值最小的結點,
// 並返回它們在HT（數組）中的序號s1和s2
HT[s1].parent=i; HT[s2] .parent=i;
//表示從F中刪除s1,s2 （改s1的雙親，改s2的雙親）
HT[i].lch=s1; HT[i].rch=s2 ;
//s1,s2分別作爲i的左右孩子 （改新創建的第i個的左孩子、右孩子）
HT[i].weight=HT[s1].weight + HT[s2] .weight;
//i 的權值爲左右孩子權值之和 （它的權值是s1的權值加上s2的權值的和）
}
}
四.哈夫曼編碼
1.主要用途
實現數據壓縮
例：給出一段報文（報文就是在網絡上傳輸的一些數據），報文中只包含字符集合 { C, A, S, T,H }，各個字符出現的頻度（次數）是 W＝{ 2, 7, 4, 5,9 }（也就是權值）。
✓若給每個字符以等長編碼（3位二進制）
（因爲一共有5個字符，五個字符用二進制編碼肯定是要用三位才能編碼的，因爲2的3次方是8，5是小於8的但5也是大於4的）
✓ C : 000 A : 001 S : 010 T : 011 H：100
✓則發送這27（因爲5個字符一共出現了27次）個字符時，總編碼長度爲 ( 2+7+4+5+9 ) * 3 = 81。
✓能否減少總編碼長度，使得發出同樣報文，可以用最少的二進制代碼？
↓↓↓（我們考慮用哈夫曼樹）
2.設計哈夫曼編碼
例：字符集合 { C, A, S, T,H }，出現的頻度（次數）是 W＝{ 2, 7, 4, 5,9 }。
（1）基本思想：
概率大的字符用短碼，概率小的用長碼，構造哈夫曼樹，寫出哈夫曼編碼。
（2）構造Huffman樹
①字符出現的概率{ 2/27, 7/27, 4/27, 5/27,9/27 },化整爲 { 2, 7, 4, 5,9 }作爲葉結點上的權值, 建立Huffman樹。
② 建好以後，左分支賦 0，右分支賦 1，得Huffman編碼(變長編碼)。
③寫出哈夫曼編碼
（概率就是權值）
✓總編碼長度(7+5+9)*2+( 2+4 )*3 = 60
✓比等長編碼的情形（81）要短。
（所以就實現了數據的壓縮）
（3）注意：
Huffman編碼是一種前綴編碼
即：任一個二進制編碼不是其它二進制編碼的前綴。解碼時不會混淆。
3.哈夫曼編碼小結
（1）哈夫曼編碼是不等長編碼。
（2）哈夫曼編碼是前綴編碼，即任一字符的編碼都不是另一字符編碼的前綴。
（3）哈夫曼編碼樹中沒有度爲1的結點。若葉子結點的個數爲n，則哈夫曼編碼樹的結點總數爲 2n-1。
（4）發送過程：根據由哈夫曼樹得到的編碼表送出字符數據。
（5）接收過程：按左0、右1的規定，從根結點走到一個葉結點，完成一個字符的譯碼。反覆此過程，直到接收數據結束。
後續
