Control system
C 1
1.transfer function —>state space
1. 存在转化矩阵T，将X转化为X_bar， 对应的A，B，C，D也和转化矩阵T有相应关系（有相关证明）
2. G(s)推导，需牢记，G=C*([sI-A]-1)*D
3. 对状态变量进行nonsingular变换，不改变G
Ｃ2
2.1 关于系统可控可观的判断
1.controllability
1. S = [B, AB, A2B, …, A.pow(n-1)B]
2. 对特征方程进行nonsingular变换，不改变可控性
3. 状态方程的对角标准型：
A矩阵为对角为eigenvalue的对角矩阵
- eigenvalue由传函分母得来
- 由sI-A = 0得来
若A的eigenvalue不同，且所有b row不是0，则系统完全可控
4. controllability canonical form（对角型：满足则一定可控
2.observability
1. 定义：若x和y独立，则不客观
V = [C; CA; CA2; …; CA.pow(n-1)
3. 状态方程的对角标准型：
A矩阵为对角为eigenvalue的对角矩阵
- eigenvalue由传函分母得来
- 由sI-A = 0得来
若A的eigenvalue不同，且全部c 列不是0，则系统完全可观
4. 所有b行，c列无0，意味着no zero-pole cancel，zero-pole cancel意味着（不可观可控，可观不可控，不可观不可控）
3. 总结
可观性：可通过y反应状态
可控性：可通过u控制状态
2.2 可控可观性 decomposition：什么样的A，B，C矩阵意味着系统可控可观性
1. 可控性
1. 分解矩阵P：由S矩阵得来（S_rank的前m列+independent自己创造的列—>使得P矩阵rank为n）
2. 由P-1AP，P-1B来得到分解矩阵
3. A‘矩阵左下角矩阵块=0，且B中对应的矩阵下侧块为0–>说明该部分状态变量不可控
2. 可观性
Q-1 = [q1, q2, …qm, …, qn].T 注意是Q的逆，易错！！！！！qm~qn为自己加的。q.T为V中的行
2. 由Q-1AQ，CQ-1 来得到分解矩阵
3. A‘矩阵右上角矩阵块=0，且C中对应的矩阵右侧块为0–>说明该部分状态变量不可观
2.3 state feedback control
是由X返回u，并不从y返回，易错！！
定义： u = r - K.T * x, K.T = [K1, K2, … , Kn]
状态方程改变： X_dot = (A - BK.T) * X + Br
若系统可控：可根据系统特征根（poles）来求反馈gain （可控，pole可以任意配置，一种pole配置，对应一种反馈gain）
1. 先判断系统可控性，poles可任意配置
2.特征方程：｜sI - （A - BK.T)｜= 0
3.desired charac. Eq. : (s+p1)(s+p2)(s+p3)…(s+pn) = 0
4. 由上述两方程相等可得K
加入状态反馈的系统可观可控性重要结论
判断题必考
1. state feedback不改变系统可控性： 由判断矩阵S来证明，A变为（A-BK.T）
2. 状态反馈会改变可观性！！！（由于可控，poles可任意配置，当产生zero-pole cancel时—>不可观
3. s.f.不改变系统阶次（order），因为传函分母s.pow(n) 的系数为1， 故不会改变
2.4 output feedback
从y返回！！
定义： u = r - K*y, y = Cx
状态方程改变： X_dot = (A - BKC) * X + Br
加入输出反馈的系统可观可控性重要结论
判断题必考
1. 如果SISO sys可观可控，引入o.f.后仍可观可控
2. 如果SISO sys不可观（不可控），引入o.f.后仍不可观（不可控）
用闭环 t.f. G（s）来证明！！！！【G0（s） = C｜sI-A｜B】
2.5 S.F. with Integral Control
(用来Track 输入)
用途：当我们要求的poles个数>系统阶次
我们需要增加系统阶次，引入integral control来增加阶次
方法：1）引入新状态变量Xn+1
2）在u前面加入Xn+1和Xn+1.dot，同时保留原系统的原状态反馈
3）但引入新的输出反馈到Xn+1.dot = r - y = r - CX
1）几个重要矩阵的变化(由已知矩阵直接变换得来)：A_bar = [A, 0; -C, 0]
B_bar = [B; 0]. C_bar = [C, 0]
2）u = -K.T * X - Kn+1 * Xn+1
= -K_bar * X_bar
K_bar = [K, Kn+1].T, X_bar = [X; Xn+1]
3) X_bar.dot = (A_bar - B_bar * K_bar.T * X_bar) + [0; r]
上述步骤存在易错部分！！！：
在求G（s）的时候所用的A_bar, C_bar可由上述得来，但是B_bar 不可直接用，而应选用 r 的系数作为B来计算！！！！
但对于特征方程
｜sI - （A_bar - B_bar * K_bar.T)｜中的B_bar是上述的B_bar
有反馈时，不管是状态还是输出反馈，状态方程中都没有u，用X或Y来替换
无反馈时，状态方程有u这个输入变量
2.6 state observer（又被称为estimator）
open loop（omitted）
2. Closed loop estimation
用原系统y和观测系统y_hat的差值：y~ = y-y_hat作为反馈—>给观测器X_hat
1. 公式：X_hat = AX_hat + Bu + Gy~
[y~ = y-C*X_hat]
so X_hat = (A - GC)*X_hat + Bu + Gy
2. 原理：当y～趋于0时，观测器输出与原输出相同，状态变量可观测，实现观测器作用
3. 观测器即与原系统由相同的状态方程
但同时有输出反馈（来自原系统）
4. 观测器存在定理
1. A-GC可以任意配置<=>A，Ｃ可观
2. 由对偶定理：（A.T，C.T） 可控
解题步骤：
1. 判断系统可观性
2. 写出特征方程：｜sI-（A-GC）｜ = 0
3. 写出desired eq
两者相等，求出G：gain of the obverse
2.7 controller和observer共存下的极点配置
两者可以分别配置互不影响
1. 一个重要的新参数X～被引入，新系统状态变量为：【X；X～】X～ = X-X_hat
由状态方程推导有X可控但X～不可控（详见可控性分解）
特征方程：｜sI-(A-BK.T)｜*｜sI-(A_GC)｜ = 0
故控制器和观测器可以任意分别配置，独立设计