【牛客網】分組揹包客問題 0/1揹包問題 完全揹包問題

其實所有的揹包問題都依賴於0/1揹包問題

0/1揹包問題(每個物品要麼選要麼不選)

• 揹包有上限Limit
• 有一些物品，每個有Cost，有Value
• 問最大的收益

舉例子吧：

• Limit爲8
• 物品1：cost=2，value=3
• 物品2：cost=3，value=4
• 物品3：cost=4，value=5
• 物品4：cost=5，value=6

解法是遍歷物品，然後更新你的收穫數組。直到遍歷了所有的物品。那麼你就得到了最終你的收穫。

cost和value是第i個物品的花費和價值：則有：

f(i,v) = max { f(i-1,v) , f(i-1,v-cost) + value }

解釋一下：你上限爲v，可以挑選前i個物品。那麼你的最大收益有兩種情況：

1. 我不選第i個物品。f(i-1,v)
2. 我一定要選第i個物品。f(i-1,v-cost) + value

所以你要維護一個收益數組。然後遍歷物品來跟新這個數組，直到遍歷完物品。

維護數組的時候要從後向前維護，爲什麼呢，保證第i個物品，你只選擇了一次。保證使用的f(i-1,v-cost)不摻雜第i個物品。（完全揹包問題是從前向後維護，這也是兩者唯一不同點）

public class Demo11 {
    public static void main(String[] args) {
        int[][] list = new int[4][2];
        list[0][0] = 2;
        list[0][1] = 3;
        list[1][0] = 3;
        list[1][1] = 4;
        list[2][0] = 4;
        list[2][1] = 5;
        list[3][0] = 5;
        list[3][1] = 6;
        // 記錄cost和valu

        int[] harvest = new int[9];//記錄收穫，序號爲上限，數值爲收益。

        for (int i = 0; i < 4; i++) {// 遍歷物品
            for (int j = 8; j >= 0; j--) { // 遍歷收益列表
                int cost = list[i][0];
                int value = list[i][1];
                if (j - cost >= 0)
                    harvest[j] = Math.max(harvest[j], harvest[j - cost] + value);
            }
        }
        System.out.println(harvest[8]);

    }
}

分組揹包問題：其實就是0/1揹包問題。只不過現在的物品變成了一個組中的一個東西。

1. 遍歷組
2. 維護收益數組

牛客網購物車問題

package May15;

import java.util.Scanner;

public class Demo10 {

    public static class Good {
        int cost;
        int value;

        public Good(int cost, int value) {
            this.cost = cost;
            this.value = value;
        }
    }


    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int money = in.nextInt(); // 一共的錢數
        int numToBuy = in.nextInt();// 想買的個數
        Good[][] arr = new Good[numToBuy][3]; // 用來分組的數組


        for (int i = 1; i <= numToBuy; i++) {
            int cost = in.nextInt();
            int desire = in.nextInt();
            int category = in.nextInt();

            Good good = new Good(cost, cost * desire);// 封裝數據

            if (category == 0) {// 說明是主件
                arr[i - 1][0] = good;
            } else {// 是附件
                if (arr[category - 1][1] != null) {
                    arr[category - 1][2] = good;
                } else {
                    arr[category - 1][1] = good;
                }
            }
        }

        // 將數據都儲存完了。
        int[] harvest = new int[money + 1];//儲存收益


        for (int j = 0; j < numToBuy; j++) {// 進行每一組的遍歷
            if (arr[j][0] == null) {// 這一組就不要了，因爲沒有嘛
                continue;
            }

            for (int i = money; i >= 0; i--) {//進行更新，一組一組地審視。

                // 每一組裏面呢，【只有主件】【主件和1附件】【主件和2附件】【主件和1、2附件】
                // 肯定是有主件的。
                Good master = arr[j][0]; // 拿出來，主件
                if (i - master.cost >= 0)
                    harvest[i] = Math.max(harvest[i], harvest[i - master.cost] + master.value);
                if (arr[j][1] != null) {// 說明有第一個附件
                    Good appendOne = arr[j][1];
                    if (i - master.cost - appendOne.cost >= 0) {
                        harvest[i] = Math.max(harvest[i], harvest[i - master.cost - appendOne.cost] + master.value + appendOne.value);
                    }
                }
                if (arr[j][2] != null) {// 說明有第二個附件
                    Good appendTwo = arr[j][2];
                    if (i - master.cost - appendTwo.cost >= 0) {
                        harvest[i] = Math.max(harvest[i], harvest[i - master.cost - appendTwo.cost] + master.value + appendTwo.value);
                    }
                }
                if (arr[j][1] != null && arr[j][2] != null) {// 說明有兩個個附件
                    Good appendOne = arr[j][1];
                    Good appendTwo = arr[j][2];
                    if (i - master.cost - appendOne.cost - appendTwo.cost >= 0) {
                        harvest[i] = Math.max(harvest[i], harvest[i - master.cost - appendOne.cost - appendTwo.cost] + master.value + appendOne.value + appendTwo.value);
                    }
                }
            }

        }


        System.out.println(harvest[money]);


    }
}

完全揹包問題：每個物品的數量沒有限制

f(i,v) = max { f(i-1,v) , f(i-1,v-costk) + valuek } 【k爲i物品的個數1，2，3，4…】

在代碼上和0/1揹包問題。兩者唯一的不同點在於，維護收益數組的方向不同。0/1揹包是從後向前維護。而完全揹包是從前向後維護。

• 0/1揹包：
  
• 完全揹包：
  
• 解釋：來自《揹包九講》