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前言
一、二叉樹與B樹
1.1 叉樹的問題分析
二叉樹的操作效率較高，但是也存在問題, 請看下面的二叉樹
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二叉樹需要加載到內存的，如果二叉樹的節點少，沒有什麼問題，但是如果二叉樹的節點很多(比如1億)， 就存在如下問題:
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問題1：在構建二叉樹時，需要多次進行i/o操作(海量數據存在數據庫或文件中)，節點海量，構建二叉樹時，速度有影響
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問題2：節點海量，也會造成二叉樹的高度很大，會降低操作速度.
1.2 多叉樹
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在二叉樹中，每個節點有數據項，最多有兩個子節點。
如果允許每個節點可以有更多的數據項和更多的子節點，就是多叉樹（multiway tree） -
後面我們講解的2-3樹，2-3-4樹 就是多叉樹，多叉樹通過重新組織節點，減少樹的高度，能對二叉樹進行優化。
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舉例說明(下面2-3樹就是一顆多叉樹)，一個節點有兩個子節點就是2節點，有三個子節點就是3節點
![在這裏插入圖片描述]()
1.3 B樹的基本介紹
B樹通過重新組織節點，降低樹的高度，並且減少i/o讀寫次數來提升效率。
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如圖B樹通過重新組織節點， 降低了樹的高度.
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文件系統及數據庫系統的設計者利用了磁盤預讀原理，將一個節點的大小設爲等於一個頁(頁得大小通常爲 4k )，這樣每個節點只需要一次I/O就可以完全載入
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將樹的度M設置爲1024，在600億個元素中最多只需要4次I/O操作就可以讀取到想要的元素, B樹(B+)廣泛應用於文件存儲系統以及數據庫系統中
1.4 2-3樹->最簡單的B樹結構
2-3樹是最簡單的B樹結構, 具有如下特點:
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2-3樹的所有葉子節點都在同一層.(只要是B樹都滿足這個條件)
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有兩個子節點的節點叫
二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點. -
有三個子節點的節點叫
三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點. -
2-3樹是由
二節點和三節點構成的樹。
1.5 2-3樹應用實例
將數列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 構建成2-3樹，並保證數據插入的大小順序。(演示一下構建2-3樹的過程.)
插入規則:
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2-3樹的所有葉子節點都在同一層.(只要是B樹都滿足這個條件)
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有兩個子節點的節點叫二節點，二節點要麼沒有子節點，要麼有兩個子節點.
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有三個子節點的節點叫三節點，三節點要麼沒有子節點，要麼有三個子節點
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當按照規則插入一個數到某個節點時，不能滿足上面三個要求，就需要拆，先向上拆，如果上層滿，則拆本層，拆後仍然需要滿足上面3個條件。
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對於三節點的子樹的值大小仍然遵守(BST 二叉排序樹)的規則
1.6 其他說明
除了23樹，還有234樹等，概念和23樹類似，也是一種B樹。 如圖:
1.7 B樹、B+樹、B*樹
1.7.1 B樹的介紹
B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思。有人把B-tree翻譯成B-樹，容易讓人產生誤解。會以爲B-樹是一種樹，而B樹又是另一種樹。實際上，B-tree就是指的B樹。
前面已經介紹了2-3樹和2-3-4樹，他們就是B樹(英語：B-tree 也寫成B-樹)，這裏我們再做一個說明，我們在學習Mysql時，經常聽到說某種類型的索引是基於B樹或者B+樹的，如圖:
B樹的說明:
- B樹的階：節點的最多子節點個數。比如2-3樹的階是3，2-3-4樹的階是4
- B-樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指針爲空，或已經是葉子結點
- 關鍵字集合分佈在整顆樹中, 即葉子節點和非葉子節點都存放數據.
- 搜索有可能在非葉子結點結束
- 其搜索性能等價於在關鍵字全集內做一次二分查找
1.7.2 B+樹的介紹
B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜索樹。
B+樹的說明:
- B+樹的搜索與B樹也基本相同，區別是B+樹只有達到葉子結點才命中（B樹可以在非葉子結點命中），其性能也等價於在關鍵字全集做一次二分查找
- 所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（即數據只能在葉子節點【也叫稠密索引】），且鏈表中的關鍵字(數據)恰好是有序的。
- 不可能在非葉子結點命中
- 非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是存儲（關鍵字）數據的數據層
- 更適合文件索引系統
- B樹和B+樹各有自己的應用場景，不能說B+樹完全比B樹好，反之亦然.
1.7.3 B*樹的介紹
B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針。
B*樹的說明:
- B*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少爲(2/3)*M，即塊的最低使用率爲2/3，而B+樹的塊的最低使用率爲B+樹的1/2。
- 從第1個特點我們可以看出，B*樹分配新結點的概率比B+樹要低，空間使用率更高