【基於VP的消失點標註】線性代數與仿射變換

一. 仿射變換的定義和種類

仿射變換，affine transform。主要由線性變換和平移變換兩部分組成。

平移變換比較好理解，那麼什麼是線性變換呢？下面給出線性變換的幾個特徵：

1. 變換之前是直線的，變換之後依然是直線。
2. 變換前後比例不會變。也就是說，一開始某個點是線段的中點，在變換之後，依然還是重點。

旋轉變換就是一個非常重要的線性變換，大家請思考：一條線段經過旋轉之後，是不是仍然是一條線段？一條線段上的中點，在旋轉之後是不是還是中點？

類似旋轉變換這類的線性變換還有很多，總的來說，仿射變換可以分爲下面幾類：

平移，翻轉，旋轉，縮放，剪切。

二. 平移

平移的實現比較簡單，只要在原來向量的基礎上再加上一個平移向量就可以了：

還有另外一種更爲推薦的實現也可以進行平移變換，那就是捨棄向量的加法，改用矩陣乘法。

這樣做的好處是，能夠把所有affine transformation都統一成的形式。

對於2D的座標(x, y)而言，我們首先要把他擴展到齊次座標系下，再進行矩陣的乘法運算（其它座標也是如此）。

這個變換矩陣可以利用分塊矩陣的思想來看待，他引入了額外的維度和平移向量。

三. 翻轉

flip說直白一點就是對稱操作，比如之前展示的那個R型圖中，實際上就是所有點做了一個關於y軸的對稱。

關於翻轉這一點，有一個非常簡單的原則，那就是按照哪個軸翻轉，哪個座標就不變。

還是以2D座標爲例，像之前繞y軸翻轉，那麼縱座標就不變。（3D的也是同一個道理，比如按照xoy平面翻轉，那x y值都不用變）

這個變換矩陣也是比較簡單，就是在單位矩陣的基礎上，對某些角元做一個相反數就行了。

四. 旋轉

關於旋轉矩陣的介紹實在是太多了，這裏不介紹了，直接給出結果：

（1）. 如果是2D座標系的話，其逆時針轉動的旋轉矩陣如下所示：

（2）. 如果是3D座標系的話，其旋轉矩陣如下所示：

1. 繞x軸旋轉，方向是yz平面順時針（與右手螺旋方向相反）
2. 繞y軸旋轉，方向是zx平面順時針（與右手螺旋方向相反）
3. 繞z軸尋轉，方向是xy平面順時針（與右手螺旋方向相反）

記憶方法：其實3D的旋轉矩陣就是2D的一個擴展。3D不同的矩陣其實就是行和列的一個互換。

五. 縮放

縮放更加簡單了，就是在單位矩陣對角元上把1改成其它正數。

比如我想要吧x的座標軸放大兩倍，我就可以用以下矩陣：

其它的就不說了，比較簡單。

六. 剪切

剪切的主要目的就是將一個標準的長方體轉換成平行四面體。

在形式上也比較簡單，以2D的爲例，如果是要x座標做橫向剪切：