01揹包問題
問題背景：
設有容量爲V的揹包，有N種物品，每件物品的體積是c[i]，對應的價值是v[i]，每種物品只有一個，要使揹包中所裝物品的價值總和最大，問該如何選擇。
用一個二維數組f[i][j]，來表示i件物品，在用j的容量時的最大的價值。因爲對於每一件物品，你選擇就只能是裝或者不裝這件物品。
例如：
物品： a b c d
體積： 5 4 6 10
價值; 10 7 14 25
當你揹包裝1件物品時，假如你的揹包容量爲4，此時f[1][4]=7,你只能裝物品b，如果你揹包容量爲9，這時你就有了選擇，能夠裝下物品a，b，c中的任何一個，因爲只能裝下一件物品，所以即使你能裝下a和b，你當然也只能選價值最大的物品c，即f[1][9]=14。
第一件物品當然是比較簡單，當揹包裝兩件物品時（i=2），當你揹包還能裝下第二件物品，此時你有兩個選擇，對第二件物品拿與不拿：
拿的話就是f[i][j] = f[i-1][j – c[i]] + v[i] 下劃線部分是拿第i個物品之前最多能拿的價值，再加上v[i]（第i個物品的價值）這就是拿第i個物品時的最大價值。
不拿的話就是f[i][j] = f[i-1][j]就相當於裝i-1件物品的最大價值。當你揹包裝不下第二件物品的時候也是f[i][j] = f[i-1][j]（裝不下了，還不是隻能像前面一樣唄）
這時，我們每一步都是取的最佳方案（得到了最大價值）
我們就可以得出狀態轉移方程 f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j – c[i]] + v[i])
目標就是f[N][V]
這裏有個難理解的地方就是初學者可能認爲，f[i][j] = f[i-1][j – c[i]] + v[i]不是裝得下就裝了嗎？
並不是這樣！！！ 當你的揹包容量V = 26時
我們不如打個表看看
比如f[3][25] = max(f[2][25], f[2][25-6] + 14) = max(39, 56)=56 這就不對了 爲什麼呢？！
比如f[4][25] = max(f[3][25], f[3][25-10] + 25) = max(49,56)=56; 這又是對的
但是！！！ 程序出來是這樣的
在這裏
比如f[3][25] = max(f[2][25], f[2][25-6] + 14) = max(17, 31)=31
比如f[4][25] = max(f[3][25], f[3][25-10] + 25) = max(31,56)=56;
這纔是正解（爲什麼會這樣的原因，相信讀者能自己分析出來）
二維數組的時間和空間複雜度都是O(VN)
有沒有發現，只有最後一行代碼纔有用，這時我們想到了用一維數組來優化。
時間複雜度不能再進行優化了，但可以將空間複雜度優化。
先寫出狀態轉移方程f[j] = max(f[j], f[j – c[i]] + v[i])
我們可以繼續分析一波數據
還是用上面的例子：
物品： a b c
體積： 5 4 6
價值; 10 7 14
當 i = 1 時
f[0] 到 f[4]顯然都是零
f[5] = max(f[5], f[0] + 10)= 10
f[6] = max(f[6], f[1] + 10) = 10
…
f[9] = max(f[9], f[4] + 10) = 10
f[10] = max(f[10], f[5] + 10)=20
!!! 問題出現了，如果每件物品只拿一次，價值不可能出現20
仔細分析發現原來是物品a拿了兩次既f[10]不僅由f[5]決定了而且還被f[0]影響了，這顯然是不對的，這就是我們後面要講的完全揹包問題。
我們想出了一個解決辦法，不是f[10]被前面多次刷新嘛，我們第二層循環倒着來。J=14開始（我們不分析這麼多了揹包就取14）到j>=c[i]就可以了，因爲前面都是0，沒有意義。
i = 1時
f[14] = max(f[14], f[9] + 10) = 10
f[13] = max(f[13], f[8] + 10) = 10
…
f[5] = max(f[5], f[0] + 10) = 10
i = 2時
f[14] = max(f[14], f[10] + 7) = 17
…
f[9] = max(f[9], f[5] + 7) = 17
f[8] = max(f[8], f[4] + 7) = 10;
看到沒，f[9]到f[14]的值刷新了
i = 3 時
f[14] = max(f[14, f[8] + 14] = 24
f[13] = max(f[13], f[7] +14) = 24
…
後面就不列舉了，我們要的結果f[14]已經出來了顯然這是正確的答案。
由此可見對於二維數組，我們可以用一維滾動數組來實現，減少不必要的浪費。
重點來了！！！用滾動數組的時候內層循環一定要逆序
再寫一點關於初始化的問題，對於揹包問題，有要求揹包裝滿與不裝滿兩種情況
- 裝滿那就要f[0] = 0; 其他的都爲-∞，爲什麼呢，因爲只有在揹包容量爲0的時候纔可以一個都不裝價值爲0，當揹包有容量，就可能裝得下東西，但你不能選擇什麼都不裝對吧，這不符合要求，所以初始化爲-∞之後，只有當你裝之後這個值纔有意義。
- 不要求裝滿就全部初始化爲0，理由同上，裝與不裝是你的選擇，你可以留着容量不裝，這時所有值都有意義。
最後貼上01揹包的代碼
二維：
for(int i = 1; i <= N; i++)//N表示種類
for(int j = 1; j <= V; j++)//V表示揹包容量 這裏循環正序逆序都行
if(j >= c[i])
f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - c[i]] + v[i])
else
f[i][j] = f[i-1][j]
cout << f[N][V];
滾動數組：
for(int i = 1; i <= N; i++)
for(int j = V; j >= c[i]; j--)// 一定要逆序
f[j] = max(f[j], f[j - c[i]] + v[i]);
cout << f[V];