高等數學（下）知識點總結（1）

高等數學（下）知識點總結

期末，總結一下高數下的知識點

第八章_空間解析幾何和向量代數

這一章是後面重積分學習的基礎，比較簡單。

8.1 向量運算

1、向量的概念：既有大小又有方向，且滿足平行四邊形法則的量稱爲向量。

2、向量的運算：
數量積：$\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos\theta$
$\vec{a}在\vec{b}上的投影爲|\vec{a}|cos\theta = PrJ\vec{a}\vec{b}$
向量積：$\vec{a} \times \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin\theta$ （運用行列式對空間向量計算簡單易記）
混合積：$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$記作$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$

（混合積的行列式表示）

8.2 平面及其方程

1、點法式方程
已知平面的法向量$\vec{n} = (A,B,C)$且過點$M_0(x_0,y_0,z_0)$，則$A(x - x_0)+B(y - y_0)+C(z - z_0) = 0$

2、三點式方程

3、截距式方程
已知三個座標軸的截距$a,b,c$，則$x/a+y/b+z/c = 0$

4、一般式放程
$Ax + By + Cz + D = 0$

5、面與面的夾角即求兩平面法向量$\vec{n_1} = (A_1,B_1,C_1) ,\vec{n_2} =(A_2,B_2,C_2),則cos\theta = |\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|/|\vec{n_1}| \cdot |\vec{n_2}|$

6、距離公式
點到平面間距離公式：$d = Ax_0+By_0+Cz_0+D/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$
兩平行平面間的距離：$d = |D_1-D_0|/\sqrt{A^2+B^2+C^2}$

8.3 空間中的線面方程

1、直線方程
1）對稱式方程：已知直線過點$M_0(x_0,y_0,z_0)$，方向向量$\vec{s} = (m,n,q)$，則直線方程爲$\frac{x-x_0}{m} =\frac{y-y_0}{n} =\frac{z-z_0}{q}$(當某些分母爲0時，分子理解爲等於0)
2）參數式方程：$x = x_0+mt,y = y_0+nt,z=z_0+qt$（t爲參數）
3）一般式方程：$A_1x+B_1y+C_1z+D_1 = 0,A_2x+B_2y+C_2z+D_2 = 0$
4）兩直線夾角爲其方向向量夾角

5）線面夾角爲面的法向量與線的方向向量夾角的餘角
6）平面束方程爲$A_1x+B_1y+C_1z+D_1 + \lambda(A_2x+B_2y+C_2z+D_2) = 0$

2、曲面方程
1）旋轉曲面：一條平面曲線繞其平面上一條定直線旋轉一週所形成的曲面叫做旋轉曲面（旋轉曲面的方程由平面曲線變化而來，遵循繞固定軸旋轉則該變量不變的特點）
2）柱面：平行定直線並沿定曲線 $C$ 移動的直線 $l$形成的軌跡叫做柱面，&C&叫做準線，$l$ 叫做母線
3）二次曲面：
a>橢球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} = 1$
b>拋物面：橢圓拋物面：$\frac{x^2}{2p}+\frac{y^2}{2q} = z$（p,q同號），雙曲拋物面：$\frac{x^2}{2p}-\frac{y^2}{2q} = z$（p,q同號）
c>雙曲面：單葉雙曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{c^2} = 1$（a,b,c爲正數）,雙葉雙曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{y^2}{c^2} = -1$（a,b,c爲正數）
d>橢圓錐面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2} = z^2$

3、空間曲線及其方程：兩曲面的交線。具體意義不大，做了解，舉例螺旋線$x = acos\theta,y = asin\theta,z = b\theta$

第九章_多元函數微分法及其應用

幾個瑣碎的知識點

1、區域
2、內點，外點，邊界點
3、聚點
4、開區域和閉區域
5、n維空間$R^n$
6、多元函數的概念：（參考一元函數的相關定義去理解）
這裏提一下用定義判斷極限存在否，並計算（除洛必達不可用，其他對於一元函數極限求法很多都可參考）
連續性的判定：①函數在$p_0$有定義②極限存在③極限值等於函數值
且多元函數滿足：①有界性定理②最值定理③介值定理

9.1偏導數

總體思路爲固定其他變量，只改變一個變量，此時轉化爲一元函數求導的情況。

（幾何意義如下圖所示）

注意：偏導數存在不一定連續（一元函數可導必連續）
對於初等函數，高階偏導數與求導順序無關

9.2 全微分

1、函數的偏增量：對x的偏增量 $f(x+\Delta x,y) - f(x,y)$，對y的偏增量 $f(x,y+\Delta y) - f(x,y)$

2、函數的全增量：$\Delta z = f(x+\Delta x,y+\Delta y) - f(x,y)$
如果函數的全增量可以表示爲$\Delta z = A\Delta x + B\Delta y +o(\rho),\rho = \sqrt{ \Delta x^2 + \Delta y^2}$ 那麼函數在$(x,y)$處可微

3、全微分存在條件：
1）若函數在$(x,y)$該點可微，則函數在該點連續
2）若函數在$(x,y)$該點可微，則函數在該點偏導數$\frac {\partial z}{\partial x},\frac {\partial z}{\partial y}$存在且$dz = \frac {\partial z}{\partial x}\Delta x + \frac {\partial z}{\partial y}\Delta y$
注意：上面兩個條件都是必要條件，不是充要條件
3）若函數偏導數存在且連續，則函數在該點可微
注意：這個條件是充分條件，而不是充要條件

9.3複雜的函數求導

1、多元複合函數求導
同樣遵從鏈式法則，不多說

2、隱函數求導
1）對於一個方程而言，如果①點$P(x_0,y_0,z_0)$的某鄰域內具有連續偏導數②$F(x_0,y_0,z_0) = 0$③$F_z(x_0,y_0,z_0) != 0$可直接採取兩邊同時求（偏）導的方法，也可採用公式$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{F_x}{F_z},\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{F_y}{F_z}$
2）對於方程組而言，公式法不便記憶，不提倡。建議採用直接法，解線性方程組。

9.4多元函數微分法的應用

1、一元向量值函數（$R^3$）
$\vec f(t) = (\varphi(t),\phi(t),z(t))$
極限：$\lim_{t\to t_0}\vec f(t) = \vec f(t) = (\lim_{t\to t_0}\varphi(t),\lim_{t\to t_0}\phi(t),\lim_{t\to t_0}z(t))$
連續：$\lim_{t\to t_0}\vec f(t) = \vec f(t_0)$
導數：$\vec f'(t) = (\varphi'(t),\phi'(t),z'(t))$
幾何意義：切向量$\vec f'(t_0) = (\varphi'(t_0),\phi'(t_0),z'(t_0))$的指向與t的增長方向一致

2、空間曲線的切線和法平面
給定光滑曲線$\vec f(t) = (\varphi(t),\phi(t),z(t))$，切向量爲$\vec f'(t) = (\varphi'(t),\phi'(t),z'(t))$，切線方程：$\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)} = \frac{y-y_0}{\phi'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}$法平面方程爲：$\varphi'(t_0)(x-x_0)+\phi'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0) = 0$

3、曲面的切平面和法線
設有光滑曲面$\varSigma:F(x,y,z) = 0$，通過其定點$M(x_0,y_0,z_0)$任意引一條光滑曲線$x = \varphi(t),y=\phi(t),z = z(t)$，設$t_0 = t$對應$M$點，且$\varphi'(t),\phi'(t),z'(t)$不全爲0，則在$M$點的切向量：$\vec T = (\varphi'(t),\phi'(t),z'(t))$，切向方程爲：$\frac{x-x_0}{\varphi'(t_0)} = \frac{y-y_0}{\phi'(t_0)} = \frac{z-z_0}{z'(t_0)}$
曲面$\varSigma:F(x,y,z) = 0$在點$M(x_0,y_0,z_0)$的法向量：$\vec n = (F_x(M),F_y(M),F_z(M))$，切平面方程：$F_x(x-x_0)+F_y(y-y_0)+F_z(z-z_0) = 0$，法線方程：$\frac{x-x_0}{F_x} = \frac{y-y_0}{F_y} = \frac{z-z_0}{F_z}$

4、全微分的幾何意義
曲面方程$z = f(x,y)$在$M$處切平面的方程爲
$z-z_0 = f_x(x-x_0)+ f_y(y-y_0)$
（切平面上點豎座標的增量）$z-z_0 = （$z = f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的全微分）f_x(x-x_0)+ f_y(y-y_0)$函數

5、法向量的方向餘弦
法向量$\vec n = (-f_x(x-x_0)，-f_y(y-y_0)，1)$
與x軸正方向夾角$cos\alpha = \frac{-f_x}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$
與y軸正方向夾角$cos\beta = \frac{-f_y}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$
與z軸正方向夾角$cos\gamma = \frac{-f_z}{\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}}$

9.5方向導數和梯度

1、方向導數
設$z = f(x,y)$在$p_0$處可微，則$f(x,y)$在$P_0$沿任意方向$l$的方向導數存在，$l$的單位向量爲$\vec e_1 = (cos\alpha,cos\beta)$，則$\frac {\partial f}{\partial l} = f_xcos\alpha+f_ycos\beta$（推廣到三維同理）

2、梯度
$\frac {\partial f}{\partial l} = f_xcos\alpha+f_ycos\beta = (f_x,f_y)(cos\alpha,cos\beta)$其中$G = (f_x,f_y)$稱爲梯度向量，簡稱梯度
梯度是函數增長最快的方向

9.6 多元函數的極值及其求法

1、極值
1）函數$z =f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$存在偏導數，且在該點取得極值，則$f_x(x_0,y_0) = 0,f_y(x_0,y_0) = 0$
2）函數$z =f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某鄰域內裏攔蓄且有一階和二階連續偏導數，又$f_x(x_0,y_0) = 0,f_y(x_0,y_0) = 0$，令$A = F_{xx}(x_0,y_0),B = F_{xy}(x_0,y_0),C = F_{yy}(x_0,y_0),$
則若$AC-B^2>0$具有極值（$A<0有極大值，A>0有極小值$）
若$AC-B^2<0$沒有極值
若$AC-B^2=0$無法確定

2、最值
可能的最值點：內部（駐點，不可導點）&邊界
條件極值：拉格朗日數乘法

第十章_重積分

第十一章_幾類特殊的積分

第十二章_無窮級數

後記

內容太多了，寫了一下午了，實在一次寫不完了，分成兩部分吧，下次接着寫第十章，第十一章，第十二章，先把這一部分發出來。