数据库原理（八）- 关系代数

前言

关系代数是一种抽象得抽象语言，它用作对关系德运算来表达查询。
任何一种运算都是讲一定的运算符作用与一定得运算对象上，得到预期的运算结果。所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素，而关系运算符分为传统运算符和专门运算符，如下图：

传统的集合运算

传统的集合运算属于二目运算，包括并、差、交、笛卡尔积4种运算。
我们首先假设有R和S两种关系，且相应的属性取自同一个域，t是元组变量，t∈R表示t是R的一个元组

R表：

A	B	C
a1	b1	c1
a1	b2	c2
a2	b2	c1

S表：

A	B	C
a1	b2	c2
a1	b3	c2
a2	b2	c1

并（union）

并的关系表达式为：

 R∪S={t|t∈R∨t∈S}

我们将两张表代入关系表达式，得出以下结果：

R∪S

A	B	C
a1	b1	c1
a1	b2	c2
a2	b2	c1
a1	b3	c2

可知，并操作是将两张表的数据整合，消除重复列

差（except）

差的关系表达式为：

R-S={t|t∈R∧t∉ S}

将两张表代入关系表达式，得出以下结果

R-S

A	B	C
a1	b1	c1

假如倒转一下，得出一下结果

S-R

A	B	C
a1	b3	c2

可知，差操作是将被减表的数据去除，只保留减表的特有数据

交（intersection）

交的关系表达式为：

关系表达式 R∩S={t|t∈R∧t∈S}

将两张表代入关系表达式，得出下结果

R∩S

A	B	C
a1	b2	c2
a2	b2	c1

可知，交操作是将两张表的交集数据输出

笛卡尔积（cartesian product）

笛卡尔积的关系表达式为

R×S={tr ts|tr∈R∧ts∈S}

将两张表代入关系表达式，得出以下结果

R×S

A	B	C	A	B	C
a1	b1	c1	a1	b2	c2
a1	b1	c1	a1	b3	c2
a1	b1	c1	a2	b2	c1
a1	b2	c2	a1	b2	c2
a1	b2	c2	a1	b3	c2
a1	b2	c2	a2	b2	c1
a2	b2	c1	a1	b2	c2
a2	b2	c1	a1	b3	c2
a2	b2	c1	a2	b2	c1

可知，笛卡尔积的操作就是将乘表的所有元组与被乘表的元组都匹配一遍

专门的集合运算

专门的集合运算包括选择、投影、连接和除运算等，我们先给出几张表，等下在进行集合运算中更加清晰

学生表（student）

学号	姓名	性别	年龄	所在系
20170901	赵一	男	20	cs
20170902	钱二	女	20	cs
20170903	张三	男	19	ma

课程表（course）

课程号	课程名	先行课	学分
1	数据库	1	4
2	数学	1	2
3	信息系统	2	4

成绩表（sc）

学号	课程号	成绩
20170901	1	82
20170902	1	92
20170902	2	85
20170903	3	90

选择（selection）

选择又称为限制，它在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作

σF(R)={t|t∈R∧F(t)='真'}

其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值”真“或”假“。

逻辑表达式F的基本形式为：

X₁θY₁ 其中θ表示为条件运算符，可以是 ＞、 ≧、＜、 ≦、 ＝ 和 ＜＞（不等于）

举个例

查询年龄等于20岁的学生
σ 年龄列 = 20(学生表) // = 就是应用在关系式中的条件运算符

查询结果

学号	姓名	性别	年龄	所在系
20170901	赵一	男	20	cs
20170902	钱二	女	20	cs

在基本的选择条件之上还可以进一步的进行逻辑运算（∧与、∨或、¬非），比如

查询一个年龄等于20的男生
σ 年龄列 = 20(学生表) a ∧性别列 = 男（学生表）

查询结果

学号	姓名	性别	年龄	所在系
20170901	赵一	男	20	cs

投影（projection）

关系R上的投影是从R中选择若干属性列组成新的关系。记作

∏a（R）={t[A]}|t∈R}

其中A为R的属性列，投影操作是从列的角度进行的运算

举个例子

查询学生表中所有学生的学号和姓名
∏ 学号，姓名(学生表)

查询结果

学号	姓名
20170901	赵一
20170902	钱二
20170903	张三

连接（join）

连接也称为θ连接，它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。
这里假设两个关系，关系中有某些属性列相同,且值取自同一域

A	B	C
a1	b1	5
a1	b2	6
a2	b3	8
a2	b4	12

B	E
b1	3
b2	7
b3	10
b3	2
b5	2

一般连接

在一般连接上，A和B分别为R和S上列数相等且可比的属性组，θ为比较运算符，记作

举个例子

输出 R⋈S 且C<E的元组

结果为

A	R.B	C	S.B	E
a1	b1	5	b2	7
a1	b1	5	b3	10
a1	b2	6	b2	7
a1	b2	6	b3	10
a2	b3	8	b3	10

等值连接（equijoin）

θ为“=”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的广义笛卡尔积中选取A、B属性组值相等的那些元组，记作

举个例子

R⋈S,且R.B=S.B

结果为

A	R.B	C	S.B	E
a1	b1	5	b1	3
a1	b2	6	b2	7
a2	b3	8	b3	10
a2	b3	8	b3	2

等值连接会去除属性列不相等的元组

自然连接（natural join）

自然连接是一种特殊的等值连接。它要求两个关系中进行比较的分量必须是同名的属性组，并在结果中把重复的属性列去掉，记作

举个例子

自然连接 R⋈S

结果为

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2

外连接（outer join）

两个关系自然连接时，选择两个关系的公共属性上的值相等的元组构成新的关系，而那些公共属性上的值不相等的元组就会被舍弃，这些被舍弃的元组称为悬浮元组。
如果把悬浮元组也保存在结果关系中，而在其他属性填空值（null），那么这种连接就叫做外连接

如R外连接S,结果为

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2
a2	b4	12	null
nul	b5	null	2

左外连接（left outer join）

如果只保留左边关系R中的悬浮元组就叫做左外连接，如R⋊S，结果为

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2
a2	b4	12	null

右外连接（right outer join）

如果只保留右边关系S中的悬浮元组就叫做右外连接，如R⋉S，结果为

A	B	C	E
a1	b1	5	3
a1	b2	6	7
a2	b3	8	10
a2	b3	8	2
nul	b5	null	2

除运算（division）

我们用象集来定义除法，首先给定关系R（X，Y）和S（Y，Z），其中X、Y、Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。
R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上x分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合，记作

R÷S={tr [X]|tr∈R∧∏y(S)⊆Yx}

举个列子，这里先列出两张表
R

A	B	C
a1	b1	c2
a1	b2	c1
a2	b3	c1
a2	b4	c6

B	C	D
a1	b1	d1
a1	b2	d2

R÷S 解法

在关系R中，A可以取2个值{a1，a2}.其中：
a1的象集为{(b1,c2),(b2,c1)}
a2的象集为{(b3,c1),(b4,c6)}
S在(B,C)上的投影为{(a1,b1),(a1,b2)}
显然只有a1的象集(B,C)a₁包含了S在(B,C)属性组上的投影，所以R÷S={a₁}

结果为：

A
a₁

除操作是同时从行和列的角度进行运算

借鉴

王珊,萨师煊.数据库系统概论(第五版)[M].北京:高等教育出版社,2014:48-56.
图片出自于书上

数据库原理（八）- 关系代数