python實現KM算法

二分圖定義

圖的頂點恰好可以分成兩個集合，同一個集合內的頂點間不允許有邊，處在不同集合的頂點允許有邊相連。

問題分類

• 最大匹配問題：匈牙利算法、Hopcroft–Karp算法
• 最優權值匹配問題：Kuhn-Munkras算法

關鍵思想

增廣路（augmenting path）：假設目前已有一個匹配結果，存在一組未匹配定點的OD，能夠找到一條路徑，這條路徑上匹配和未匹配的定點交替出現，稱爲增廣路

增廣路上的匹配和未匹配取反，則匹配數增加1。

KM算法

基本思想：通過引入頂標，將最優權值匹配轉化爲最大匹配問題。

步驟1：將邊權值轉化爲頂標/標杆，一般來講，初始化時，X集合的元素取對應權重的最大值，Y集合的元素取0。取出滿足以下條件的邊，構建二分圖：weight(i,j) = label(i) + label(j)；該二分圖稱爲相等子圖

步驟2：尋找增廣路，從X0開始，找到X0Y4；在X1，找不到增廣路，需要調整頂標，擴大相等子圖；當找不到增廣路徑時，對於搜索過的路徑上的XY點，設該路徑上的X頂點集爲S，Y頂點集爲T，對所有在S中的點xi及不在T中的點yj，計算d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}，從S集中的X標杆中減去d，並將其加入到T集中的Y的標杆中；本例尋找增廣路的過程中，訪問了X1、Y4、X0三個節點，因此對應的邊是X1Y0，d爲2（從貪心選邊的角度看，我們可以爲X0選擇新的邊而拋棄原先的二分子圖中的匹配邊，也可以爲X1選擇新的邊而拋棄原先的二分子圖中的匹配邊，因爲我們不能同時選擇X0Y4和X1Y4，因爲這是一個不合法匹配，這個時候，d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}的意義就在於，我們選擇一條新的邊，這條邊將被加入匹配子圖中使得匹配合法，選擇這條邊形成的匹配子圖，將比原先的匹配子圖加上這條非法邊組成的非法匹配子圖的權重和（如果它是合法的，它將是最大的）小最少，即權重最大了）；此時再次爲X1尋找增廣路，得到X1Y0.

步驟3：對X2尋找增廣路，搜索範圍如上圖藍色路徑所示，找不到增廣路，需要擴大相等子圖；按照步驟2同一規則，會將邊X0Y2、X2Y1加入，d=1.

步驟4：在新的相等子圖上，對X2重新尋找增廣路。如果是深度優先，得到的路線是X2Y0->Y0X1->X1Y4->Y4X0->X0Y2，此時將匹配結果取反，則得到X2Y0、X1Y4、X0Y2三個匹配；如果是寬度優先，得到的匹配結果是X0Y4、X1Y0、X2Y1，如下圖：

 

python實現

import numpy as np

# 聲明數據結構
adj_matrix = build_graph() # np array with dimension N*N

# 初始化頂標
label_left = np.max(adj_matrix, axis=1)  # init label for the left set
label_right = np.zeros(N)  # init label for the right set

# 初始化匹配結果
match_right = np.empty(N) * np.nan

# 初始化輔助變量
visit_left = np.empty(N) * False
visit_right = np.empty(N) * False
slack_right = np.empty(N) * np.inf

# 尋找增廣路，深度優先
def find_path(i):
  visit_left[i] = True
  for j, match_weight in enumerate(adj_matrix[i]):
    if visit_right[j]: continue  # 已被匹配（解決遞歸中的衝突）
    gap = label_left[i] + label_right[j] - match_weight
    if gap == 0:
      # 找到可行匹配
      visit_right[j] = True
      if np.isnan(match_right[j]) or find_path(match_right[j]):  ## j未被匹配，或雖然j已被匹配，但是j的已匹配對象有其他可選備胎
        match_right[j] = i
          return True
        else:
      # 計算變爲可行匹配需要的頂標改變量
      if slack_right[j] < gap: slack_right[j] = gap
     return False

# KM主函數
def KM():
  for i in range(N):
      # 重置輔助變量
      slack_right = np.empty(N) * np.inf
      while True:
        # 重置輔助變量
        visit_left = np.empty(N) * False
                visit_right = np.empty(N) * False
        
          # 能找到可行匹配
        if find_path(i):    break
          # 不能找到可行匹配，修改頂標
        # (1)將所有在增廣路中的X方點的label全部減去一個常數d 
        # (2)將所有在增廣路中的Y方點的label全部加上一個常數d
        d = np.inf
        for j, slack in enumerate(slack_right):
          if not visit_right[j] and slack < d:
            d = slack
        for k in range(N):
          if visit_left[k]: label_left[k] -= d
        for n in range(N):
          if visit_right[n]: label_right[n] += d
    res = 0
  for j in range(N):
    if match_right[j] >=0 and match_right[j] < N:
      res += adj_matrix[match[j]][j]
  return res