DP : 最长递增子序列

---

问题描述

• 对于一个数字序列，请设计一个复杂度为O(nlogn)的算法，返回该序列的最长上升子序列的长度，
  这里的子序列定义为这样一个序列U1，U2…，其中Ui < Ui+1，且A[Ui] < A[Ui+1]。
  给定一个数字序列A及序列的长度n，请返回最长上升子序列的长度。

• 测试样例：
  [2 ,1, 5, 3, 6, 4, 8, 9, 7, 8], 10
  返回：5

---

时间复杂度为O(n2)

挨个保存每个元素的最长递增子序列

int findLongest(int A[], int len)
{
    //初始化一维数组存放每个元素对应的最大递增子序列长度
    int* arr = new int[len];
    for (int i = 0; i < len; i++) 
        arr[i] = 1; //初始化长度为1,即一个只有元素时的长度
    
    //控制循环条件,每个元素都从头遍历一遍进行比较
    for (int i = 1; i < len; i++)
    for (int j = 0; j < i; j++) //0到i-1去和A[i]比较
    {
        //如果当前元素比前面的元素大,且和其能组成更长的子序列
        if (A[i] > A[j] && arr[i] < arr[j] + 1)
            arr[i] = arr[j] + 1;    
    }
    //arr数组中最大值就是最长递增子序列的长度
    int max = 0;
    for (int i = 0; i < len; i++) 
        if (max < arr[i])
            max = arr[i];
    delete[] arr;
    return max;
}

时间复杂度为O(n logn)

使用一个辅助数组保存一个递增子序列 :

1. 碰到递增的元素就依次存入数组末尾
2. 碰到不是递增的在数组中找到第一个比他大的元素替换

所以这个数组是最长递增子序列的长度, 但不是那个最长自增子序列本身, 他是碰到不是递增的在数组中找到一个合适的淘汰掉, 这样就只用遍历一遍, 加上二分查找, 就是O(n logn)

int findLongestSub(int A[], int len) 
{
    vector<int> arr;
    for (int i = 0; i < len; i++) 
        //如果辅助数组arr为空,或者当前元素比辅助数组末尾元素大,就更新辅助数组末尾元素
        if (arr.size() == 0 || arr.back() < A[i]) 
            arr.push_back(A[i]);
        else 
        {
            int low = 0, high = arr.size() - 1;
            while (low < high) //二分查找辅助数组中第一个大于等于A[i]的数,进行替换
            {
                int mid = (low + high) / 2;
                if (arr[mid] < A[i])
                    low = mid + 1;
                else 
                    high = mid - 1;
            }
            arr[low] = A[i];
        }
    //辅助数组长度即为最长递增子序列的长度
    return arr.size();
}