題目：定義Fibonacci序列如下：f(0)=0，f(1)=f(2)=1，n>2時，f(n)=f(n-1)+f(n-2) ，輸入n ，用最快的方法求該數列的第 n 項。
分析：
首先遞歸求法肯定都會，但是由於遞推關係的形式，很容易看出裏面有很多的重複計算。改進的方法也很容易想到，即申請額外的兩個空間來存放保存前面的計算結果，以此來提供速度：
參考代碼：
1: int getNthFibonacci(int n)
2: {
3: int first=0,second=1;
4: if(n==0 || n==1)
5: return n;
6:
7: int result=0;
8: for(int i=1;i<n;i++)
9: {
10: result += first+second;
11: first=second;
12: second=result;
13: }
14: return result;
15: }這裏時間複雜度爲O(n)，網上還有一種時間複雜度爲log(n)的算法，思想如下：
其數學基礎：方陣{ f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2) } = {1, 1, 1,0 }n-1
即前者表示一個2X2的方陣，後者表示一個第一行爲1,1、第二行爲1,0的方陣的n-1次方。矩陣{1,1,1,0}的n-1次方的結果的第一行第一列就是f(n)，可以用歸納法證明，比較簡單。
現在的問題轉換爲求矩陣{1, 1, 1, 0}的乘方。如果簡單第從0開始循環，n次方將需要n次運算，並不比前面的方法要快。但我們可以考慮乘方的如下性質：
/ an/2*an/2 n爲偶數時
an=
\ a(n-1)/2*a(n-1)/2 n爲奇數時
要求得n次方，我們先求得n/2次方，再把n/2的結果平方一下。如果把求n次方的問題看成一個大問題，把求n/2看成一個較小的問題。這種把大問題分解成一個或多個小問題的思路我們稱之爲分治法。這樣求n次方就只需要logn次運算了。
參考代碼：
1: #include<stdlib.h>
2: #include<stdio.h>
3: #include<string.h> //memcpy
4:
5: void multiply(int A[], int B[], int result[])
6: {
7: result[0] = A[0]*B[0] + A[1]*B[2];
8: result[1] = A[0]*B[1] + A[1]*B[3];
9: result[2] = A[2]*B[0] + A[3]*B[2];
10: result[3] = A[2]*B[1] + A[3]*B[3];
11: }
12:
13: void power(int A[], int n, int result[])
14: {
15: if (n==1)
16: {
17: memcpy(A, result, 4*sizeof(int));
18: return;
19: }
20: int tmp[4];
21: power(A, n>>1, result);
22: multiply(result, result, tmp);
23:
24: if (n & 1 == 1)
25: {
26: multiply(tmp, A, result);
27: }
28: else
29: {
30: memcpy(result, tmp, 4*sizeof(int));
31: }
32: }
33:
34: int getNthFibonacci(int n)
35: {
36: int A[4] = {1,1,1,0};
37: int result[4]={1,1,1,0};
38: power(A, n, result);
39:
40: return result[0];
41: }
42:
43:
44: int main()
45: {
46：int n
47: while(scanf("%d",&n))
48: {
49: if(n==-1)
50: break;
51: if(n==0 || n==1)
52: printf("n=%d,result=%d\n",n,n);
53: else
54: printf("n=%d,result=%d\n",n,getNthFibonacci(n-1));
55: }
56: getchar();
57: return 0;
58: }