UOJ449 集訓隊作業2018 喂鴿子

Problem

UOJ

看題後：

• boshi：這是一道簡單題
• 隊長：這題好像不難，感覺和獵人殺有點像
• 我：
  

Solution

感覺自己越來越菜了，再這樣下去，要是正式考試送溫暖豈不是連溫暖都拿不到了。。

一臉min-max反演的樣子，由於每個鴿子都等價，枚舉子集大小 $i$ 即可

$ans=\sum_{i=1}^n\binom n i(-1)^{i+1}\frac n i f(i)$

其中 $\frac n i$ 來源於平均每 $\frac n i$ 步纔會有一粒餵給選中的鴿子。$f(i)$ 表示的是給 $i$ 只鴿子餵食，有一個鴿子大於等於 $k$ 時停止的期望步數。

枚舉餵給其他鴿子的玉米粒數量，概率通過方案數來算

$f(i)=\sum_{j=0}^{(i-1)(k-1)} (j+k)i\binom {j+k-1} jg[i-1][j] (\frac 1 i)^{j+k}$

其中 $g[i-1][j]$ 表示給 $i-1$ 只鴿子喂 $j$ 粒，且每隻都小於 $k$ 的方案數。這個可以用生成函數算

$g[i-1][j]=(\sum_{r=0}^{k-1} \frac {x^i} {i!})^{i-1}[j]$

時間複雜度 $O(n^2k\log (nk))$

Code

#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=70010,mod=998244353,G=3;
template <typename Tp> inline int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> inline void read(Tp &x)
{
    x=0;int f=0;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
    if(ch=='-') f=1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    if(f) x=-x;
}
int n,k,N,l,ans,fac[maxn],inv[maxn],f[55],g[55][maxn],rev[maxn];
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x<y?x-y+mod:x-y;}
int C(int n,int m){return m>n?0:(ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;}
int power(int x,int y)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	  if(y&1)
	    res=(ll)res*x%mod;
	return res;
}
void NTT(int *a,int f)
{
	for(int i=1;i<N;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
	for(int i=1;i<N;i<<=1)
	{
		int gn=power(G,(mod-1)/(i<<1));
		for(int j=0;j<N;j+=(i<<1))
		{
			int g=1,x,y;
			for(int k=0;k<i;++k,g=(ll)g*gn%mod)
			{
				x=a[j+k];y=(ll)g*a[j+k+i]%mod;
				a[j+k]=pls(x,y);a[j+k+i]=dec(x,y);
			}
		}
	}
	if(f==-1)
	{
		int iv=power(N,mod-2);reverse(a+1,a+N);
		for(int i=0;i<N;i++) a[i]=(ll)a[i]*iv%mod;
	}
}
void init(int N)
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=N;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
	inv[N]=power(fac[N],mod-2);
	for(int i=N-1;~i;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*(i+1)%mod;
}
int main()
{
	read(n);read(k);
	init(n*k);
	for(N=1,l=0;N<=(n*k);N<<=1) ++l;
	for(int i=1;i<N;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
	for(int i=0;i<k;i++) g[1][i]=inv[i];
	NTT(g[1],1);g[0][0]=1;
	for(int i=2;i<n;i++)
	  for(int j=0;j<N;j++)
	    g[i][j]=(ll)g[i-1][j]*g[1][j]%mod;
	for(int i=1;i<=1||i<n;i++) NTT(g[i],-1);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int inv=power(i,mod-2);int tmp=power(inv,k-1);
		for(int j=0;j<N;j++,tmp=(ll)tmp*inv%mod)
		  f[i]=(f[i]+(ll)(j+k)*C(j+k-1,j)%mod*g[i-1][j]%mod*fac[j]%mod*tmp)%mod;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(i&1) ans=(ans+(ll)C(n,i)*n%mod*power(i,mod-2)%mod*f[i])%mod;
		else ans=dec(ans,(ll)C(n,i)*n%mod*power(i,mod-2)%mod*f[i]%mod)%mod;
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}