莫比烏斯反演(一)：整除分塊

莫比烏斯反演(一)

前言

    終於要學莫比烏斯反演啦，封存了半年數論，爲了一個星期後的南昌，不得不擴充更廣的知識面。遺憾的是，打完南昌可能就要退役了。
    雖然打完南昌一站可能退役了，但是也不能放棄算法的學習。
(2019-05-26 留)

整除分塊

在莫比烏斯反演一類問題中，結果經常會出現形如 $\sum_{i = 1}^{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$。
如果 $n$ 的範圍巨大，暴力 $O(n)$ 的方法可能會超時。而整除分塊是 $O(\sqrt{n})$ 的方法。

現在我們要解決一個這樣的問題：
$\sum_{i = 1}^{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\quad(n \le 10^{12})$

解釋

參考博客:點擊此鏈接看證明
首先我們可以想到的是 $\sum_{i = 1}^{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$ 裏面，有很多項是重複的。例如在 $n = 10$ 的情況下，$1$ 至 $10$ 項分別是 $10，5，3，2，2，1，1，1，1，1$ 。而整除分塊的任務就是 $\sum_{i = 1}^{10}{\lfloor\frac{10}{i}\rfloor} = 10\times1+5\times1+3\times1+2\times2+1\times5$。

$\sum_{i = 1}^{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}$ 的性質：

1. 不同的項最多隻有 $2\sqrt{n}$ 項。
2. 與 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 相等的最大的 $i'$ 爲 $\lfloor\frac{n}{\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\rfloor$。

代碼

for (int l = 1, r; l <= n; l = r + 1) {
    r = n / (n / l);
    ans += (r - l + 1) * (n / l);
}