【Code+ 7】神祕序列

題目解法

倒過來考慮題目中的過程，即從全零數組開始，進行題目中操作的擬操作。
則應當每次找到數組中最低的爲 $0$ 的位置 $i$ ，令 $a_i=i,a_j=a_j-1\;(j\leq i-1)$ 。

給定操作次數 $X$ ，考慮如何高效地還原出 $X$ 次操作後的數組。
我們稱一次操作 $a_i=i,a_j=a_j-1\;(j\leq i-1)$ 爲操作 $i$ 。
則第 $1,3,5,\dots$ 次操作應當爲操作 $1$ ；
刪除所有操作 $1$ 後，第 $1,4,7,\dots$ 次操作應當爲操作 $2$ ；
刪除所有操作 $1,2$ 後，則第 $1,5,9,\dots$ 次操作應當爲操作 $3$ ……

因此，我們可以求出 $X$ 次操作後，序列的長度 $N$ 。
由於序列的長度並不確定，我們可以通過上述過程二分求出序列的長度。

不難發現，序列的長度 $N=O(\sqrt{K})$ ，在 $K\leq 10^{12}$ 時， $N\leq 2\times 10^6$ 。
事實上， 一篇論文 指出， $N\rightarrow+\infty$ 時，有 $\frac{N^2}{N+K}\rightarrow\pi$ ，可以對 $N$ 進行一個較爲精確的估計。

時間複雜度 $O(\sqrt{K}LogK)$ 。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e6 + 5;
typedef long long ll;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); } 
template <typename T> void read(T &x) {
	x = 0; int f = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';
	x *= f;
}
ll k, ans[MAXN];
int check(int mid) {
	int ans = 0; ll tmp = k + mid;
	while (tmp != 0) {
		ans++;
		ll mns = tmp / (ans + 1) + (tmp % (ans + 1) != 0);
		tmp -= mns;
	}
	return ans;
}
int main() {
	int n, last; read(k);
	if (k <= 1e11) {
		int l = 1, r = 2e6;
		while (true) {
			int mid = (l + r) / 2;
			int tmp = check(mid);
			if (tmp == mid) {
				l = r = mid;
				break;
			}
			if (tmp > mid) l = mid + 1;
			else r = mid - 1;
		} n = l;
	} else {
		n = check(2e6), last = 2e6;
		while (n != last) {
			last = n;
			n = check(n);
		}
	}
	ll tmp = k + n;
	printf("%d\n", n); 
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ll mns = tmp / (i + 1) + (tmp % (i + 1) != 0);
		ans[1] -= mns, ans[i] += mns;
		ans[i] += mns * i, ans[i + 1] -= mns * i;
		tmp -= mns;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		ans[i] += ans[i - 1];
		printf("%lld ", ans[i]);
	}
	printf("\n");
	return 0;
}