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設gcd(a,b)=c,lcm(a,b)=d，即ab的最大公因數爲c，最小公倍數爲d，則一定有a=k1c ， b=k2c （1） a=d/t1 b=d/t2 （2）,其中k1,k2必然互質（反證法：假設k1，k2不互質，則必定有一個大於1的最大公因數，設其爲x，則有a=k1/x * xc, b=k2/x * xc,此時k1/x和k2/x已經互質，但是明顯a和b有一個公因數xc,又因爲x>1，則xc>c，和前提ab的最大公因數c矛盾，則k1,k2必然互質，同理可證t1,t2互質）
對於（1）式，可有b/a=k2/k1.對於（2）式，可有b/a=t1/t2,即k2/k1=t1/t2,定有常數y,使得k2=yt1,k1=yt2,即k2/k1=yt1/yt2=t1/t2,
而k2和k1是互質的，y只能爲1，所以k2=t1,k1=t2,而k1=a/c,t2=d/b,所以a/c=d/b,即ab=cd，證畢