圖像處理基礎(3)——瞭解平滑與銳化

空域內處理圖像的平滑與銳化
一.噪聲相關知識
1.噪聲
可理解爲妨礙人們感覺器宮對所接收的信源信息理解的因素，所謂的圖像噪聲，是圖像在攝取時或是傳輸時所受到的隨機干擾信號。數字圖像的噪聲主要來源於圖像的獲取和傳輸過程。
2.噪聲特點
（1）噪聲在圖像中的分佈和大小不規則。
（2）噪聲與圖像之間具有相關性。
（3）噪聲具有疊加性。
3.常見噪聲
（1）椒鹽噪聲：噪聲幅值基本相同，出現位置隨機。
（2）高斯噪聲：每一點都存在噪聲，但幅值隨機，按幅值大小的分佈統計爲高斯型。
4.圖像噪聲抑制方法
原理：設計噪聲濾波器，在儘可能保持原圖的基礎上，抑制噪聲。
方法：在空域中常用均值濾波器和中值濾波器。
二.空間濾波原理
1.線性空間濾波的一般形式：

f(x,y)：輸入圖像 g(x,y)：爲輸出圖像，是任意像素(x,y)的灰度在輸入圖像f(x,y)事先定義的(x,y)鄰域內所有像素灰度的某種函數。可表示爲g(x,y)=T[f(x,y)]

(x,y)鄰域爲(2a+1)×(2b+1)的矩形，w(s,t)爲濾波器模板係數。
說明：
（1）對於尺寸爲m*n的模板，m=2a+1，n=2b+1，a、b爲非負整數，使模板的長和寬都爲奇數。

（2）在大小爲M*N的圖像f上，用上述濾波器模板進行線性濾波。

（3）爲了得到一幅完整的經過卷積運算處理的圖像，必須對圖像中位置x=0，1，2.……M-1和y=0，1，2……N-1依次應用上式，即遍歷處理圖像中所有像素。
2.模板運算步驟
（1）將模板在圖中漫遊，將模板中心與圖中某個像素位置重合。
（2）將模板上係數與模板下對應像素相乘。
（3）將所有乘積相加，並將和（模板輸出響應）賦給圖中對應模板中心位置的像素。

3.二維卷積表達式

計算過程：
（1）g（u，v）繞原點選擇180°，的到g（-u，-v），平移到圖上的點（x，y）上，的到g（x-u，y-v）。
（2）g（x-u，y-v）與f（u，v）逐點相乘並進行二維積分，從而得到卷積的值。

離散二維卷積：

對於一幅數字圖像F和一個二維卷積模板G
圖像卷積運算的步驟：
（1）卷積核（模板）中的元素稱作加權係數（亦稱爲卷積係數），卷積就是作加權求和的過程。
（2）圖像所取鄰域中的每個像素（假定鄰域爲3×3大小，卷積核大小與鄰域相同），分別與卷積核中的每一個元素相乘，乘積求和所得結果即爲圖像所取鄰域中心像素的新值。
（3）改變卷積核中的加權係數，會影響到總和的數值與符號，從而影響到所求像素的新值。

三.空間濾波方法
1.均值濾波
原理：相鄰像素間存在很高的空間相關性，而噪聲則是統計獨立的。因此，可用鄰域內各像素的灰度平均值代替該像素原來的灰度值，實現圖像的濾波。即將每個像元在以其爲中心的區域內，取平均值來代替該像元值，以達到去掉尖銳“噪聲”和平滑圖像的目的。
實現：

box模板：模板中所有元素的值相同。（也稱均值濾波器）

均值濾波器說明：
（1）對相同類型的平滑濾波器，濾波器尺寸越大，噪聲濾除效果愈好，但細節模糊效應也越強。
（2）均值濾波器的缺點是使圖像變的模糊，原因是它對所有的點都是同等對待，在將噪聲點分攤的同時，將景物的邊界點也分攤了。
（3）爲克服局部平局的弊病應考如何選擇鄰域的大小、形狀和方向、參加平均的點數以及鄰域各點的權重係數等。

加權均值濾波器：在模板中引入了加權係數，以區分鄰域中不同位置像素對輸出像素值的影響，常稱其爲加權模板。
例如：

模板不同，中心點或鄰域的重要程度也不相同，因此，應根據問題的需要選取合適的模板。但不管什麼樣的模板，必須保證全部權係數之和爲單位值，這樣可保證輸出圖像灰度值在許可範圍內，不會產生“溢出”現象。
2.中值濾波
   儘管加權中值濾波適當改善了這種細節模糊效應，但能力有限，故重新設計模板，從而產生中值濾波器。
設計思路：因爲噪聲（如椒鹽噪聲）的出現，使該點像素比周圍的像素亮（暗）許多。
如果在某個模板中，對像素進行由小到大排列的重新排列，那麼最亮的或者是最暗的點一定被排在兩側。取模板中排在中間位置上的像素的灰度值替代待處理像素的值，就可以達到濾除噪聲的目的。
中值濾波和均值濾波比較：
（1）對於椒鹽噪聲中值濾波去除椒鹽噪聲效果好，而且模糊輕微，邊緣保留較好。
椒鹽噪聲是幅值近似相等但隨機分佈在不同位置上，圖像中有乾淨點也有污染點。中值濾波是選擇適當的點來替代污染點的值，所以處理效果好。因爲噪聲的均值不爲0，所以均值濾波不能很好地去除噪聲點。
（2）對於高斯噪聲，均值濾波效果好。高斯噪聲是幅值近似正態分佈，但分佈在每點像素上。因爲圖像中的每點都是污染點，所中值濾波選不到合適的乾淨點。因爲正態分佈的均值爲0，所以根據統計數學，均值可以消除噪聲。
四.圖像銳化
  圖像識別中需要突出邊緣和輪廓信息，從而引出銳化的概念，圖像銳化的目的是加強圖像的邊緣和輪廓，使圖像看起來比較清晰，因此也稱爲邊緣增強。
  從頻譜角度分析，圖像模糊的實質是因其高頻分量被衰減，因而可以用加高頻濾波來使圖像清晰。
1.圖像銳化方法的引出：
平滑濾波器通過對圖像進行積分，使圖像的邊緣輪廓產生了模糊。那麼是否有一種濾波器通過對圖像進行積分的逆運算（微分）使圖像的邊緣輪廓更加清晰呢？基於這個問題，經過前人的推導，答案被證實。
2.銳化常採用微分法：
（1）通過灰度剖面圖像進行細節描述

  灰度值剖面的一階微分在圖像由暗到明位置處有一個向上階躍，在圖像由明到暗位置處有一個向下階躍，而在其它位置爲零。
  表明可用一階微分的極大值來識別該剖面的灰度細節。
  灰度值剖面的二階微分在一階微分的階躍上升區有一個向上脈衝，在階躍下降區有一個向下脈衝。兩階躍之間有一個過零點，這過零點正對應原圖灰度變化細節。
  表明可用二階微分過零點檢測圖像中灰度變化細節位置。
（2）通過銳化進行圖像增強：
分爲無方向性銳化和有方向性銳化
a）梯度法

梯度定義爲

梯度的兩個重要性質是：
1）梯度的方向在函數f(x,y)最大變化率的方向上。
2）梯度的模（幅度）用由下式算出：
梯度的數值就是f（x，y）在其最大變化率方向上的單位距離所增加的量。
對於離散圖像處理而言，常用到梯度的大小，因此把梯度的大小習慣稱爲“梯度”
遞度模值的計算可簡化成爲：

產生如下梯度模板：

注：此種銳化方法需要進行後續處理，以解決灰度值爲負的問題
（1）整體加一個正整數
（2）將所有的像素值取絕對值。
b）交叉微分
Sobel算子計算梯度

說明：可用於提取出物體如建築物的細節輪廓。Roberts邊緣檢測算子是一種利用局部差分算子尋找邊緣的算子，Robert算子圖像處理後結果邊緣不是很平滑。由於Robert算子通常會在圖像邊緣附近的區域內產生較寬的響應，故採用上述算子檢測的邊緣圖像常需做細化處理，邊緣定位的精度不是很高。
c）Sobel微分算子(銳化邊緣信息較強)
交叉微分算子可以獲得景物細節的輪廓。但由於模板的尺寸是偶數，故待處理像素不能放在模板中心位置，處理的結果就會有半個像素的錯位。

Sobel微分算子是一種奇數3×3的模板下的全方向微分算子。
Sobel微分算子定義如下：

d）Priwitt微分算子（與Sobel相比，形式幾乎無差別，計算相對簡單，有一定的抗干擾，圖像效果比較乾淨。）
   有時需要在圖像中抽出某一特定方向的輪廓線，這時可以使用方向模板來達到這一目的。根據所需的方向，可從下列8種模板中先取合適的模板。

Priwitt微分算子定義如下：

3.梯度圖像
   概念：使各點灰度g（x，y）等於該點的梯度幅度。缺點是增強的圖像僅顯示灰度變化比較陡的線條邊緣輪廓，而灰度變化平緩的區域則呈黑色。

g（x，y）可分爲以下四類：
   (1)適當選取一個門限值T，它可以有效地增強邊緣輪廓而不影響灰度變化較平緩的背景特徵。即

T是非負的閾值，超過T則用該點的梯度值，否則保持原值。
   (2)爲了得到圖像清晰的邊界，並仍然保持灰度變化平緩區域的原有圖像特性。即

LG是給邊緣規定的一個固定灰度值
   (3)爲了突出邊緣灰度變化，而不觀察背景。即

LB是圖像背景規定的灰度值

(4)還可設置只留兩個灰度級，可得二值梯度圖像，供研究邊緣位置。

設置兩個灰度級，可得二值梯度圖像，供研究邊緣位置。
五.二階微分法的銳化
1.拉普拉斯微分算子：拉普拉斯算子是常用的邊緣增強算子，拉普拉斯運算也是偏導數運算的線性組合運算，而且是一種各向同性（旋轉不變性）的線性運算。拉普拉斯算子具有一個好的特性，即各向同性（旋轉對稱性，即與座標軸方向無關，座標軸旋轉後梯度結果不變）。而這是一階微分算子所不具有的。

2.從模板形式容易看出，如果在圖像中一個較暗的區域中出現了一個亮點，那麼用拉普拉斯運算就會使這個亮點變得更亮。因爲圖像中的邊緣就是那些灰度發生跳變的區域，所以拉普拉斯銳化模板在邊緣檢測中很有用。一般增強技術對於陡峭的邊緣和緩慢變化的邊緣很難確定其邊緣線的位置。但此算子卻可用二次微分正峯和負峯之間的過零點來確定，對孤立點或端點更爲敏感，因此特別適用於以突出圖像中的孤立點、孤立線或線端點爲目的的場合。同梯度算子一樣，拉普拉斯算子也會增強圖像中的噪聲，有時用拉普拉斯算子進行邊緣檢測時，可將圖像先進行平滑處理。
3.拉普拉斯算子的變形
爲了改善銳化效果，可以脫離微分的計算原理，在原有的算子基礎上，對模板係數進行改變，獲得Laplacian變形算子如下所示。

將原始圖像和拉普拉斯圖像疊加在一起的簡單方法可以保護拉普拉斯銳化處理的效果，同時又能復原背景信息。