二進制狀態壓縮枚舉子集

對於二進制狀態 $S$，可以用此方法不重不漏地枚舉出子狀態：

for (int sub = S; sub; sub = (sub - 1) & S) {
	// sub 爲 S 的子集
}

【證明】 由 $sub = (sub - 1) \cap S$ 可知 $sub$ 每次必然會變小，於是我們只需要證明區間 $\left((sub - 1) \cap S, sub\right)$ 中不存在 $S$ 的子集。設 $sub = (d_1d_2 \cdots d_k 10 \cdots 0)_2$，那麼 $sub - 1 = (d_1d_2 \cdots d_k 01 \cdots 1)_2$，由於 $sub$ 是 $S$ 的子集，則 $(d_1d_2 \cdots d_k 00 \cdots 0)_2$ 是 $S$ 的子集，因此考慮 $(d_1d_2 \cdots d_k 01 \cdots 1)_2 \cap S$，得到的一定是 $\left((d_1d_2 \cdots d_k 00 \cdots 0)_2, (d_1d_2 \cdots d_k 10 \cdots 0)_2\right)$ 中值最大的子集，問題得證。

【時間複雜度】 枚舉單個狀態的子集複雜度爲 $O(2^m)$（$m$ 爲 $S$ 中 $1$ 的個數）。考慮枚舉全集 $2^n - 1$ 的每個子集的子集的時間複雜度：$O\left(\sum\limits_{i = 0}^{n} \left(C_{n}^{i} \cdot 2^i\right)\right) = O\left((1 + 2) ^ n\right) = O(3^n)$（二項式定理：$(1+x)^n = \sum\limits_{i = 0}^{n} \left(C_{n}^{i} \cdot x^i\right)$）。