開學第一場考試是辣雞$whzzt$出的題。題目毒瘤題解瞎寫。
這套題體驗又是極差。
雖說前倆題爆零這個事吧。。。
$T1$爲了卡常於是改了變量名然後沒改全掛了$10pts$問題不大。
$T2$無解判定少寫了一條直接把$20pts$也掛沒了問題依然不大。
$T3$的$60pts$倒是不低勉強扛住了這場的排名。
然而這次關鍵是在$T1$。並不是很難，但是根本沒有砸時間。
在學校狀態比在家是會好一些，貌似。不知道不吃早飯有沒有影響。
只剩下$7$場模擬了。。。
T1：解碼
大意：給定$n,m,c$。存在奇質數$p,q$使$pq=n,2 \le q-p \le 3 \times 10^5$，有$(c,(p-1)(q-1))=1$。求一個$x$使得$x^c \equiv m (\mod n)$。$10^9 \le p \le 2 \times 10^9,T \le 10^5$
答案肯定有$m^{\frac{1}{c}} (\mod n)$。$c$關於$\varphi(n)$有逆元所以直接搞就可以。
問題在於快速求$phi$也就是快速得到$p,q$。我們有$pq=n$。設$q=p+y$則有$p^2+py=n$。也就有$p=\frac{-y + \sqrt{y^2+4n}}{2}$
爲了讓它是個整數，所以$y^2+4n$一定要是$4$的倍數且爲完全平方數。設$t=\frac{y}{2}$則有$t^2+n=k^2$
我們枚舉$k$，下界是$\sqrt{n}$。由於$p \ge 10^9$此後$k$每增加$1$都會使$k^2$增加$O(10^9)$。
根據題意我們有$t \le 1.5 \times 10^5$。所以$t^2$這一項最多也就增長$\frac{(1.5 \times 10^5)^2}{10^9}=15$次左右。所以只需要枚舉$k$就行了。
需要快速乘。時間複雜度$O(Tlogn+15T)$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define ll long long 4 ll n,m,c; 5 ll mul(ll a,ll b,ll m){return ((a*b-(ll)(1.L*a/m*b)*m)%m+m)%m;} 6 ll qp(ll b,ll t,ll m,ll a=1){for(;t;t>>=1,b=mul(b,b,m))if(t&1)a=mul(a,b,m);return a;} 7 void exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){ 8 if(!b){x=1;y=0;return;} 9 exgcd(b,a%b,x,y);ll r=x;x=y;y=r-a/b*x; 10 } 11 ll inv(ll a,ll b){ll x,y;exgcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;} 12 int main(){freopen("rsa.in","r",stdin);freopen("rsa.out","w",stdout);int t;scanf("%d",&t);while(t--){ 13 scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&c); 14 ll k,t,p,q,phi; 15 k=sqrt(n); 16 while(1){ 17 t=sqrt(k*k-n); 18 if(t*t+n==k*k)break;k++; 19 }phi=(k-t-1)*(k+t-1); 20 printf("%lld\n",qp(m,inv(c%phi,phi),n)); 21 }}
T2：排列
大意：給定長爲$n$的數列$x$，構造$m$個長爲$n$的排列$P_i$並賦權$v_i$使得$0 \le v_i \le 1,\sum v_i =1,\sum P_iv_i=x,m \le n$。$n \le 500,eps=10^{-4}$
首先考慮無解判定。
$\sum\limits_{i=1}^{n} x_i = \frac{n(n+1)}{2}$
$\forall N\le n,\sum\limits_{i=1}^{N} x_i \ge \frac{N(N+1)}{2}$
必要性比較顯然。
充分性的話，考慮把$n!$種可能的排列都表示爲$n$維向量，那麼滿足上述條件的點構成的是一個平面凸包（$\sum v_i =1$的限制所致）
進而考慮構造方法：每次按照當前的數列$x$的元素大小順序構造排列$P_i$。也就是最小的位置$a$對應$P_{i,a}=1$這樣。
然後可以二分$v_i$的值，存在單調性（如果減的數量不夠那就再減一輪）。
由於一個任意$n$維向量均可以由$n$個非線性相關的$n$維向量線性表出，所以一定可以構造出解。
稍微卡精。$O(n^2log\ eps)$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define ldb long double 4 #define eps 1e-12L 5 #define S 505 6 ldb r[S],a[S],rat=1;int n,x[S],p[S]; 7 bool chk(){ 8 sort(r+1,r+1+n); ldb tot=0; 9 for(int i=1;i<=n;++i){tot+=r[i]-rat*i;if(tot<-eps)return 0;} 10 return fabs(tot)<=eps; 11 } 12 bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];} 13 int main(){ 14 freopen("permutation.in","r",stdin);freopen("permutation.out","w",stdout); 15 scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%Lf",&a[i]),r[i]=a[i],x[i]=i; 16 if(!chk())return puts("-1"),0; printf("%d\n",n); 17 for(int _=1;_<=n;++_){ 18 sort(x+1,x+1+n,cmp); for(int i=1;i<=n;++i)p[x[i]]=i; 19 ldb L=0,R=rat,m; 20 while(m=(L+R)/2,R-L>1e-14L){ 21 for(int i=1;i<=n;++i)r[i]=a[i]-p[i]*m; 22 rat-=m;if(chk())L=m;else R=m;rat+=m; 23 } 24 for(int i=1;i<=n;++i)a[i]-=p[i]*L;rat-=L; 25 printf("%.9Lf ",L); 26 for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",p[i]);puts(""); 27 } 28 }
T3：安排
先咕掉，等$WK$講或者再看看$std$再說。