《戀上數據結構與算法》筆記（七）：二叉樹

目錄

• 一、樹（Tree）的基本概念
  • 1、節點
  • 2、子樹
  • 3、度
  • 4、深度&高度
  • 5、樹的分類
• 二、二叉樹
  • 1、二叉樹的性質
  • 2、二叉樹的種類
    • a、真二叉樹
    • b、滿二叉樹
    • c、完全二叉樹
• 三、leetcode算法題
  • 1、尋找完全二叉樹的葉子節點

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一、樹（Tree）的基本概念

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• 節點最多爲兩個的樹叫做二叉樹, 節點多餘兩個的樹叫做多叉樹。
  
• 生活中的樹形結構
  

1、節點

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• 節點：1、2、3、4、5、6、21、22、31、51、52、61、221、222、223
• 根節點：1
• 父節點：1是2、3、4、5、6的父節點，2是21、22的父節點，以此類推。
• 子節點：與父節點相反，2、3、4、5、6是1的子節點，21、22是2的子節點，以此類推。
• 兄弟節點：同一個父節點下的子節點互爲兄弟節點，例如上圖中的21和22是兄弟節點，但是22和31雖然都在同一層，而父節點不同，所以不是兄弟節點。
• 空樹：一棵樹沒有任何節點，包括沒有根節點。
• 一棵樹可以只有一個節點，也就是根節點。

2、子樹

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• 子樹：一棵樹可以有很多節點，而其中除了整體是一顆樹外，其中的子節點也可以單獨看成一棵樹，例如2、21、22、221、222、223就是一顆子樹。
• 左子樹：左側的子節點稱爲左子樹，例如21是2的左子樹。
• 右子樹：右側的子節點稱爲右子樹，例如22是2的右子樹。

3、度

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• 節點的度：子樹的個數，即子節點的個數，就是節點的度，例如根節點1有5個子節點，所以根節點1的度是5。
• 樹的度：所有節點度的最大值，上圖中節點度最大的是根節點， 所以這棵樹的度是5。
• 葉子節點：度爲0的節點，即沒有子節點的節點。
• 非葉子節點：度不爲0的節點，即有子節點的節點。

4、深度&高度

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• 層數：根節點第一層，根節點的子節點在第`2``層，以此類推(有些教程是從第0層開始計算)。

• 節點的深度：從根節點到當前節點的唯一路徑上的節點總數。

  • 節點2的深度：1->2，經歷2個節點，所以深度爲2`。
  • 節點223的深度：1->2->22->223，經歷4個節點，所以深度是4。

• 節點的高度：從當前節點到最遠葉子節點的路徑上的節點總數。

  • 節點2的高度：2->22->221，經歷3個節點，所以深度是3
  • 節點223的深度: 223，只有一個節點，所以深度是1。

• 樹的深度：所有節點深度的最大值。

  • 1->2->22->221，所以樹的深度是4。

• 樹的高度：所有節點高度的最大值。

  • 1->2->22->221，所以樹的高度是4。

5、樹的分類

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• 有序樹：樹種任意節點的子節點之間有順序關係，即兩個樹所有的值都一樣，但是其中的子節點順序不一樣，就是兩顆不同的有序樹。
• 無序樹：樹中任意節點的子節點之間沒有順序關係，也稱爲自由樹。
• 森林：由m（m >= 0）顆互不相交的樹組成的集合。

二、二叉樹

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1、二叉樹的性質

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• 每個節點的度最大爲2，即最多擁有2顆子樹。

• 左子樹和右子樹是有順序的，比如所有節點左子樹小於右子樹。

• 即使某節點只有一顆子樹，也要區分左右子樹
  

• 非空二叉樹的第i層，最多有2^(i-1)個節點(i >= 1)。

• 高度爲h的二叉樹最多有2^h - 1個節點(h >= 1)。

• 對於任意一顆非空二叉樹，如果葉子節點個數爲n0，度爲2的節點個數爲n2，則有：n0 = n2 + 1。

  • 假設度爲1 的節點個數爲n1，那麼二叉樹的總結點n = n0 + n1 + n2
    二叉樹的邊數T = n1 + 2 * n2，這是因爲n1的每個節點下有1個子節點，所以邊是n1，n2的每一個節點都有2個子節點所以是n2 * 2。反過來看，因爲所有的節點上面都有一條邊，只有根節點上沒有邊。所以，二叉樹的邊數T = n1 + 2 * n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1。即: n1 + 2 * n2 = n0 + n1 + n2 - 1 可以推出n0 = n2 + 1。
    

2、二叉樹的種類

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a、真二叉樹

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• 所有節點的度要麼爲0，要麼爲2，即沒有隻有一個子節點的節點。
  

b、滿二叉樹

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• 所有節點的度要麼爲0，要麼爲2。且所有的葉子節點都在最後一層。
• 在同樣高度的二叉樹中，滿二叉樹的葉子節點數量最多，總結點數量最多。
• 滿二叉樹一定是真二叉樹，真二叉樹不一定是滿二叉樹。
  
• 假設滿二叉樹的高度爲h(h >= 1)，那麼：
  • 第i層的節點數量：2^(i - 1)
  • 葉子節點數量：2^h - 1
  • 總結點數量 n：
    • n = 2^h - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +...+ h^(h - 1)
    • h = log2(n + 1)

c、完全二叉樹

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• 葉子節點只會出現最後2層，最後1層的葉子節點都靠左對齊(只能缺少右子樹)。

• 完全二叉樹從根節點至倒數第2層是一顆滿二叉樹。

• 滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿二叉樹。
  

• 度爲1的節點只有左子樹。

• 度爲1的節點要麼是1個，要麼是0個。

• 同樣節點數量的二叉樹，完全二叉樹的高度最小。

• 假設完全二叉樹的高度爲h(h >= 1)，那麼：

  • 至少有2^(h - 1)個節點(2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h - 2) + 1)。

  • 最多有2^h - 1個節點(2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h - 1), 滿二叉樹)。

  • 總節點數量爲 n：

    • 2^(h - 1) <= n < 2^h
    • h - 1 <= log2(n) < h
    • h = floor(log2n) + 1

• 一個有n個節點的完整二叉樹(n > 0)，從上到下，從左到右對節點從1開始編號，對任意第i個節點：

  • 如果i = 1，它是根節點。
  • 如果i > 1，它的父節點編號爲floor(i/2)。
  • 如果2i <= n，它的左子節點編號爲2i。
  • 如果2i > n，它無左子點。
  • 如果2i + 1 <= n，他的右子節點編號爲2i + 1。
  • 如果2i + 1 > n，它無右子節點。

• 一個有n個節點的完整二叉樹(n > 0), 從上到下，從左到右對節點從0開始編號, 對任意第i個節點：

  • 如果i = 0，它是根節點。
  • 如果i > 0，它的父節點編號爲floor((i- 1)/2)。
  • 如果2i + 1 <= n - 1，它的左子節點編號爲2i + 1。
  • 如果2i + 1 > n - 1，它無左子點。
  • 如果2i + 2 <= n - 1，他的右子節點編號爲2i + 2。
  • 如果2i + 2 > n - 1，它無右子節點。

三、leetcode算法題

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1、尋找完全二叉樹的葉子節點

• 總節點數量爲n。
• n如果是偶數，葉子節點數量n0 = n / 2。
• n如果是奇數，葉子節點數量n0 = (n + 1) / 2。
• 可以一併寫成：n0 = floor((n + 1) / 2)。
• floor爲向下取整。