《恋上数据结构与算法》笔记（七）：二叉树

目录

• 一、树（Tree）的基本概念
  • 1、节点
  • 2、子树
  • 3、度
  • 4、深度&高度
  • 5、树的分类
• 二、二叉树
  • 1、二叉树的性质
  • 2、二叉树的种类
    • a、真二叉树
    • b、满二叉树
    • c、完全二叉树
• 三、leetcode算法题
  • 1、寻找完全二叉树的叶子节点

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一、树（Tree）的基本概念

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• 节点最多为两个的树叫做二叉树, 节点多余两个的树叫做多叉树。
  
• 生活中的树形结构
  

1、节点

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• 节点：1、2、3、4、5、6、21、22、31、51、52、61、221、222、223
• 根节点：1
• 父节点：1是2、3、4、5、6的父节点，2是21、22的父节点，以此类推。
• 子节点：与父节点相反，2、3、4、5、6是1的子节点，21、22是2的子节点，以此类推。
• 兄弟节点：同一个父节点下的子节点互为兄弟节点，例如上图中的21和22是兄弟节点，但是22和31虽然都在同一层，而父节点不同，所以不是兄弟节点。
• 空树：一棵树没有任何节点，包括没有根节点。
• 一棵树可以只有一个节点，也就是根节点。

2、子树

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• 子树：一棵树可以有很多节点，而其中除了整体是一颗树外，其中的子节点也可以单独看成一棵树，例如2、21、22、221、222、223就是一颗子树。
• 左子树：左侧的子节点称为左子树，例如21是2的左子树。
• 右子树：右侧的子节点称为右子树，例如22是2的右子树。

3、度

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• 节点的度：子树的个数，即子节点的个数，就是节点的度，例如根节点1有5个子节点，所以根节点1的度是5。
• 树的度：所有节点度的最大值，上图中节点度最大的是根节点， 所以这棵树的度是5。
• 叶子节点：度为0的节点，即没有子节点的节点。
• 非叶子节点：度不为0的节点，即有子节点的节点。

4、深度&高度

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• 层数：根节点第一层，根节点的子节点在第`2``层，以此类推(有些教程是从第0层开始计算)。

• 节点的深度：从根节点到当前节点的唯一路径上的节点总数。

  • 节点2的深度：1->2，经历2个节点，所以深度为2`。
  • 节点223的深度：1->2->22->223，经历4个节点，所以深度是4。

• 节点的高度：从当前节点到最远叶子节点的路径上的节点总数。

  • 节点2的高度：2->22->221，经历3个节点，所以深度是3
  • 节点223的深度: 223，只有一个节点，所以深度是1。

• 树的深度：所有节点深度的最大值。

  • 1->2->22->221，所以树的深度是4。

• 树的高度：所有节点高度的最大值。

  • 1->2->22->221，所以树的高度是4。

5、树的分类

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• 有序树：树种任意节点的子节点之间有顺序关系，即两个树所有的值都一样，但是其中的子节点顺序不一样，就是两颗不同的有序树。
• 无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，也称为自由树。
• 森林：由m（m >= 0）颗互不相交的树组成的集合。

二、二叉树

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1、二叉树的性质

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• 每个节点的度最大为2，即最多拥有2颗子树。

• 左子树和右子树是有顺序的，比如所有节点左子树小于右子树。

• 即使某节点只有一颗子树，也要区分左右子树
  

• 非空二叉树的第i层，最多有2^(i-1)个节点(i >= 1)。

• 高度为h的二叉树最多有2^h - 1个节点(h >= 1)。

• 对于任意一颗非空二叉树，如果叶子节点个数为n0，度为2的节点个数为n2，则有：n0 = n2 + 1。

  • 假设度为1 的节点个数为n1，那么二叉树的总结点n = n0 + n1 + n2
    二叉树的边数T = n1 + 2 * n2，这是因为n1的每个节点下有1个子节点，所以边是n1，n2的每一个节点都有2个子节点所以是n2 * 2。反过来看，因为所有的节点上面都有一条边，只有根节点上没有边。所以，二叉树的边数T = n1 + 2 * n2 = n - 1 = n0 + n1 + n2 - 1。即: n1 + 2 * n2 = n0 + n1 + n2 - 1 可以推出n0 = n2 + 1。
    

2、二叉树的种类

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a、真二叉树

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• 所有节点的度要么为0，要么为2，即没有只有一个子节点的节点。
  

b、满二叉树

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• 所有节点的度要么为0，要么为2。且所有的叶子节点都在最后一层。
• 在同样高度的二叉树中，满二叉树的叶子节点数量最多，总结点数量最多。
• 满二叉树一定是真二叉树，真二叉树不一定是满二叉树。
  
• 假设满二叉树的高度为h(h >= 1)，那么：
  • 第i层的节点数量：2^(i - 1)
  • 叶子节点数量：2^h - 1
  • 总结点数量 n：
    • n = 2^h - 1 = 2^0 + 2^1 + 2^2 + 2^3 +...+ h^(h - 1)
    • h = log2(n + 1)

c、完全二叉树

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• 叶子节点只会出现最后2层，最后1层的叶子节点都靠左对齐(只能缺少右子树)。

• 完全二叉树从根节点至倒数第2层是一颗满二叉树。

• 满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树。
  

• 度为1的节点只有左子树。

• 度为1的节点要么是1个，要么是0个。

• 同样节点数量的二叉树，完全二叉树的高度最小。

• 假设完全二叉树的高度为h(h >= 1)，那么：

  • 至少有2^(h - 1)个节点(2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h - 2) + 1)。

  • 最多有2^h - 1个节点(2^0 + 2^1 + 2^2 + … + 2^(h - 1), 满二叉树)。

  • 总节点数量为 n：

    • 2^(h - 1) <= n < 2^h
    • h - 1 <= log2(n) < h
    • h = floor(log2n) + 1

• 一个有n个节点的完整二叉树(n > 0)，从上到下，从左到右对节点从1开始编号，对任意第i个节点：

  • 如果i = 1，它是根节点。
  • 如果i > 1，它的父节点编号为floor(i/2)。
  • 如果2i <= n，它的左子节点编号为2i。
  • 如果2i > n，它无左子点。
  • 如果2i + 1 <= n，他的右子节点编号为2i + 1。
  • 如果2i + 1 > n，它无右子节点。

• 一个有n个节点的完整二叉树(n > 0), 从上到下，从左到右对节点从0开始编号, 对任意第i个节点：

  • 如果i = 0，它是根节点。
  • 如果i > 0，它的父节点编号为floor((i- 1)/2)。
  • 如果2i + 1 <= n - 1，它的左子节点编号为2i + 1。
  • 如果2i + 1 > n - 1，它无左子点。
  • 如果2i + 2 <= n - 1，他的右子节点编号为2i + 2。
  • 如果2i + 2 > n - 1，它无右子节点。

三、leetcode算法题

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1、寻找完全二叉树的叶子节点

• 总节点数量为n。
• n如果是偶数，叶子节点数量n0 = n / 2。
• n如果是奇数，叶子节点数量n0 = (n + 1) / 2。
• 可以一并写成：n0 = floor((n + 1) / 2)。
• floor为向下取整。