【數論】px+qy不能表示的最大的數的證明

原創 狠人王 2020-06-07 13:21


結論：如果a，b均是正整數並且互質，那麼由   ax+by，x>=0 ,y>=0   x\geq 0 y\geq 0   不能湊出的最大正整數是   ab-a-b。

1、證明  ab-a-b 不可能等於  ax+by  ：

反證法：假設ax+by=ab-a-b，那麼ab=a(x+1)+b(y+1)

即可推出b|a(x+1)，a|ab，a|a(x+1)，a|b(y+1)

由於ab互質，即a|(y+1)，由於y>=0，所以a<=y+1，所以b(y+1)>=ab

同理可得：a(x+1)>=ab

所以a(x+1)+b(y+1)≥2ab>ab，矛盾

2、證明 ab-a-b+d,d>0 ab-a-b+d,d>0一定可以表示成 ax+by,x,y>=0 ax+by,x,y>=0

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用到該算法的題目：

ACWing525

ACWing1205

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