九度OJ 1081： 遞推數列

題目描述：

給定a0,a1,以及an=p*a(n-1) + q*a(n-2)中的p,q。這裏n >= 2。 求第k個數對10000的模。

輸入：

輸入包括5個整數：a0、a1、p、q、k。

輸出：

第k個數a(k)對10000的模。

樣例輸入：

20 1 1 14 5

樣例輸出：

8359

來源：

2009年清華大學計算機研究生機試真題

題目分析1：

一個很顯然的想法是遞推計算這k+1個數對10000的模，實現如下：

源代碼1（TLE）

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MOD 10000
  
int main()
{
    int a0, a1, p, q, k;
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF)
    {
        int *pa = (int *)malloc(sizeof(int)*(k+1));
        pa[0] = a0;
        pa[1] = a1;
        int i;
        for(i = 2; i <= k; i++)                      //時間複雜度爲O(k)
            pa[i] = (p * pa[i-1] + q * pa[i-2])%MOD;
        printf("%d\n", pa[k]);
        free(pa);
    }
    //system("pause");
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1081
    User: superlc320
    Language: C++
    Result: Time Limit Exceed
****************************************************************/

題目分析2：

很不幸，超時了。以上算法的時間複雜度爲O(k), 當k很大時，會TLE。

再次分析題目，會發現遞推公式

進而推出

問題轉化爲求

這裏要用到 矩陣二分乘法。

矩陣二分乘法是一種有效的快速計算矩陣冪的算法。

矩陣二分乘法通常可以將線性遞推問題O(n)時間縮短到O（log(n)）。

關於矩陣二分乘法更詳細的內容可以問度娘。

源代碼2

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define MOD 10000       //結果取MOD，避免高精度運算
 
/*將矩陣p與矩陣q相乘，結果存入p矩陣*/
void Matrix_mul(int p[2][2], int q[2][2])
{
    int i, j, k;
    int t[2][2]={0};
    for(i = 0; i <= 1; i++)
        for(j = 0; j <= 1; j++)
            for(k = 0; k <= 1; k++)
                t[i][j] += p[i][k] * q[k][j];
    for(i = 0; i <= 1; i++)
        for(j = 0; j <= 1; j++)
            p[i][j] = t[i][j] % MOD;
}
 
/*計算p矩陣的n次方，結果存入p矩陣*/
void Matrix_cal(int p[2][2], int n)
{
    int i, j;
    int t[2][2];
    for(i = 0; i <= 1; i++)
        for(j = 0; j <= 1; j++)
            t[i][j] = p[i][j];
    if(n == 1) 
        return;
    else if(n & 1)
    {
        Matrix_cal(p, n-1);
        Matrix_mul(p, t);
    }
    else
    {
        Matrix_cal(p, n/2);
        Matrix_mul(p, p);
    }
}
  
int main()
{
    int a0, a1, p, q, k;
    while(scanf("%d%d%d%d%d", &a0, &a1, &p, &q, &k) != EOF)
    {
        if(k == 0) 
            printf("%d\n", a0);  
        else if(k == 1) 
            printf("%d\n", a1); 
        else
        {
            int matrix[2][2] = { {p%MOD, q%MOD}, {1, 0} };
            Matrix_cal(matrix, k-1);
            printf("%d\n", (a1 * matrix[0][0] + a0 * matrix[0][1]) % MOD);
        }
    }
    //system("pause");
    return 0;
}
/**************************************************************
    Problem: 1081
    User: superlc320
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:10 ms
    Memory:1020 kb
****************************************************************/