樹的定義
什麼是樹 ：一棵樹是一些節點的集合。這個集合可以是空集；若不是空集，則樹由稱作根的節點r以及0或多個非空的子樹組成，這些子樹中每一顆的根都被來自根r的一條有向的邊所連接。也就是說，一棵樹是N個節點和N-1條邊的集合。
一些名字解釋
兒子：節點的子樹的根叫做該節點的兒子；
父親：該節點就是兒子的父親；
樹葉：沒有兒子的節點稱作樹葉；
兄弟：具有相同父親的節點叫做兄弟；
深度：從節點n到根r的長度爲深度，r的深度爲0；
高度：從節點n到樹葉的最長長度爲高度，所有樹葉的高度爲0；一棵樹的高度就是根的高度；
先、中、後序遍歷
先、中、後指的是操作根節點的順序，左節點先於右節點操作，所以先、中、後序遍歷的執行順序分別爲：根-左-右、左-根-右、左-右-根。
二叉查找樹
二叉樹是在樹的基礎上限定了兒子的個數小於等於2而得到的。而對於二叉查找樹，就是在二叉樹的定義上在加一個限制：對於任意節點X，它的左子樹的所有值都小於X，它的右子樹的所有值都大於X。
二叉查找樹的java實現
AVL樹
爲了防止二叉查找樹退化爲鏈表，我們需要再加一些限制：平衡
AVL(Adelson-Velskii和Landis)樹帶有平衡條件：對於任意節點，它的左子樹和右子樹的高度差最多爲1（我們定義空樹的高度爲-1）。
平衡條件防止二叉樹退化爲鏈表，但是也給插入和刪除增加了實現難度。以插入爲例，根據不同的插入情況，可以分爲四種類型：
- 對a節點的左兒子的左子樹插入 LL
- 對a節點的左兒子的右子樹插入 LR
- 對a節點的右兒子的左子樹插入 RL
- 對a節點的右兒子的右子樹插入 RR
上述a節點表示第一個出現不平衡的節點，第一表示從樹葉開始算（要不然肯定都是根節點）。
對於1和4，插入的情況放生在兩邊，通過一次單旋轉可以解決平衡問題；2和3發生在中間，需要雙旋轉（其實就是兩次單旋轉）來解決平衡問題。
單旋轉
以RR爲例，如下圖
節點6爲新插入的節點，插入後，2節點的左子樹高度爲1，右子樹高度爲3，不平衡。6插入的是2節點的右兒子的右子樹，所以屬於RR情況。對於RR情況，需要在a節點（例子中的2節點）和它的右兒子（4節點）之間進行一次左旋轉，所謂左旋轉就是：父節點旋轉爲右兒子的左兒子。在這個過程中，如果右兒子有左兒子，則該左兒子就是原父節點的新右兒子。
以圖中例子總結左旋轉過程：
- 設置2節點的右兒子爲4的左兒子3
- 設置右兒子4的左兒子爲原父節點2
需要注意的是，上述例子中6節點插入到了5節點的右兒子，這個不是成爲RR情況原因，6節點插入到5節點的左兒子也是屬於RR，請注意四種情況的定義，找到a節點，以它爲出發點判斷失衡情況。
LL的右旋轉請大家自己嘗試，有問題可以留言討論
雙旋轉
現在大家已經明白左右旋轉了，現在結合兩個旋轉來完成雙旋轉。以下圖爲例
如下圖，節點5插入到了2節點的右兒子的左子樹中，所以屬於RL。我們需要從樹葉到根進行先後兩次單旋轉，右旋轉和左旋轉。
需要注意的是，一：從樹葉到根的順序；二：旋轉順序，RL就是先右後左，LR就是先左後右。
伸展樹
提出伸展樹的背景：
- 對於二叉查找樹（不是AVL樹），訪問一個節點的時間複雜度爲O(logN)，最壞情況是O(N)，如果經常出現最壞情況，比如一直訪問同一個節點，此時耗費的時間會比較大
- 一個節點被訪問後，該節點和訪問過程中路過的節點的訪問可能性會增大。
在這樣的背景下，伸展樹的用途就是可以將被訪問到的節點推到根節點，而且訪問途中的節點深度不會很大（即訪問時間也比較小）。
展開
因爲我們的目的是要把目標X節點推到根部，所以需要沿着訪問路徑通過某些操作將X一步一步的推到根部。我們可能最先想到的就是使用旋轉，每次讓X和它的父節點旋轉，這樣到最後X就會出現到根部。但是這樣的操作之後會造成沿途節點在一個比較深的位置。所以我們通過以下兩種情況來分別處理。討論之前先明確一點，目標X存在祖父節點（如果只有父節點就直接和父節點旋轉）。
之子型
如圖，類似於LR的情況（RL類似），我們就進行一次雙旋轉
一字型
如圖情況，則按照圖中規則操作。
java中樹的應用
java中常見的比如TreeSet、TreeMap以及HashMap中鏈表過深轉換的樹形結構。這些樹都屬於紅黑樹，在後面寫到紅黑樹的時候會詳細解讀這裏。
以上~ . ~
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