小鼠試毒問題（二進制）

1000桶酒，其中1桶有毒。而一旦吃了，毒性會在1周後發作。問最少需要多少隻老鼠可在一週內找出毒酒?

如題。

分析思路：
要用盡可能少的老鼠完成相對大的任務量，要想到把問題進行對數分解。
從而不難想到 $2^{10}=1024$ 這個數量關係。

解法一：
二進制編碼。

首先對1000桶酒按照1~1000進行二進制編碼，因爲 $2^{10}$ = 1024 > 1000，因此需要10位二進制。
故只需要取10只老鼠，每隻老鼠只喝其對應位數爲1的編號的酒。

然後給10只老鼠按以下編碼:
第一隻 0000000001
第二隻 0000000010
第三隻 0000000100
…
第十隻 1000000000

結果舉例：編號爲1000100011的酒是毒酒。
則對應喝酒的只有第一隻，第二隻，第六隻，第十隻死亡。

故最後可從哪幾只老鼠死亡來判斷毒酒的編號是多少。

通用公式：
N桶酒，老鼠所能表示的狀態數目爲M，則需要的老鼠個數爲： $K =log_M{N}$。

而具體實驗的操作方法爲：
1.每種狀態按照 M 進制進行編碼，編碼長度爲 K
2.每個老鼠分別去拿自身的 M 中狀態去實驗 N 的 M 進制編碼的某一位
3.所以 K 個老鼠，等同於是 K 長度 M 進制的對應的每一位
4.這樣試驗完後，就確定了每一位上面的數字，找到對應的那種狀態就好。

解法二：
二分法。

具體喝法如下：
第一隻：1-500
第二隻：1-250，501-750
第三隻：1-125，251-375，501-625，751-875
…
因爲$2^{10}$>1000 , $2^{9}$<1000

所以最少需要10只老鼠。

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觸類旁通：

初級版問題——每隻只能實驗一次

即上題。因爲每隻老鼠只能實驗一次，所以，每隻老鼠身上有兩種狀態一死亡或者存活，而酒中有毒的信息總量爲1000，即每桶酒都有可能有毒。

所以需要的編碼長度爲：$log_ 2 {1000}$ 向上取整得到10

中級版問題一一每隻可以實驗多次

10000桶酒，其中1桶是毒酒；48小時後要舉行酒會；毒酒喝下去會在之後的第23-24小時內毒死人（時間確定）；國王決定用囚犯來試酒，不介意囚犯死多少，只要求用最少的囚犯來測試出哪一桶是毒酒，問最少需要多少囚犯才能保證找出毒酒？

根據題目要求，對於每個囚犯，是可以實驗24次的，即第0小時喝，然後第1小時再喝，。。。如果第K小時死亡，則是因爲第K-24（上取整）小數喝的酒導致的。

這樣的話，每個人就含有了25個狀態，即24小時分別每個小時死亡，外加最後沒有死。

所以需要的囚犯數爲 $log_{25}{10000}$ = 3， 即將10000桶酒按照25進制編碼進行編碼，是一個三位數長度的25進制數。

然後三個人分別第i小時去喝對應位數上編碼爲i的所有酒，最後就能確定下來具體喝哪一桶酒。

類似的題：
1000桶水，其中一桶有毒，豬喝毒水後會在15分鐘內死去，想用一個小時找到這桶毒水，至少需要幾頭豬？

解：每頭豬有5種狀態，所以5頭豬即可完成編碼。

高級問題—-不止一桶有毒

不止一桶有毒的情況下，其實非常地複雜。

1000桶水中兩桶有毒，豬喝毒水後會在15分鐘內死去，想用一個小時找到毒水，至少需要幾隻豬？如何實現？

因爲有兩桶有毒，所以信息量爲：$N = C _ {1000}^{2}$種情況。
每隻豬身上有5種狀態，所以最低有：$log_{5}{N}= 9$ 。
但是這個只是理論下界，因爲豬死亡是不能夠區分出，是被一桶毒水毒死的，還是兩桶毒水。

假設豬死亡的狀態可以區分出來/或者兩種毒水需要混合纔能有毒性的話，那麼做法是，將這1000桶毒水兩兩混合，一共 $N = C _ {1000}^{2}$ 種組合，然後將這些組合按照5進制進行編碼。然後9只豬就可以區分出來了。

而對於這道題來說，不止一桶水有毒的情況，就是先用交叉法再用進製法。
即10只豬每隻喝100桶，然後按照死一隻還是死兩隻進行分開討論。

具體如下：
1.給每隻豬喂對應個位數編號的水，這樣第一個15分鐘後肯定最多死兩隻豬。

2.1.如果死了兩隻豬的話，則同時確定了兩個[100桶水裏有一桶水有毒]。問題簡化成兩個[100桶水裏有一桶水有毒]，45min確定哪兩桶。
將剩下八隻豬平均分開，思考可以用幾進制的四位數至少可以表示到100，分別確定這桶水。因爲 $4^{4}$>100，剛好每隻豬剩4種狀態，所以兩步一共需要10只豬。

2.2 如果僅死一隻豬的話，問題變成100桶水裏兩桶有毒，45min確定哪兩桶。
利用1思路，給剩下的豬每隻喂12桶水。

2.2.1若死兩隻豬（此時還剩下7只豬），則問題簡化成兩個[12桶水一桶有毒]，30min確定。
因爲 $3^{3}$>12，所以剛好將剩下的豬分成33兩組。

2.2.2若死一隻豬（此時還有八隻豬），問題變成12桶水裏兩桶有毒，30min確定哪兩桶。
利用1思路，給剩下的豬每隻喂2桶水。

2.2.2.1若死兩隻豬（此時還有六隻豬），問題變成兩個[2桶水裏一桶有毒]，15min確定哪兩桶。

2.2.2.2若死一隻豬（此時還有七隻豬），問題變成2桶水裏兩桶有毒，15min確定哪兩桶。

故而此方法10只是最多的。

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可利用 二進制編碼 解法的又一種題目：

500張多米諾骨牌整齊地排成一列，依順序編號爲1、2、3…499、500。第一次拿走所有奇數位置上的骨牌，第二次再從剩餘骨牌中拿走所有奇數位置上的骨牌，依此類推。請問最後剩下的一張骨牌的編號是多少？

如題。

所有骨牌都可以用一個9位的二進制編碼來標記。

題目中，第1次取牌抽走了所有末位是1的牌，剩餘末位爲0的牌；第2次抽牌則在第一次剩餘的牌中抽走倒數第二位爲1的牌…

以此類推，第k次抽牌留下的是形如XXX…X000…0（k個0）的牌。

因此，最後一次抽牌留下的是二進制編碼爲100000000，即十進制256的牌。