稀疏矩陣的存儲方法（DOK、LIL、COO、CSR, CRS）

存儲稀疏矩陣

經常用二維數組來存儲矩陣。 用數組的$a_{i,j}$可以用索引值$i$和$j$訪問。通常，$i$是 行索引，從上往下編號，$j$是列索引，從左到右進行編號。對於$m × n$的矩陣，用這種格式存儲需要的內存和$m × n$成比例。

對於稀疏矩陣，如果只存儲非零的數據，可以極大的節約內存。根據非零數據的數量和分佈情況，有不同的數據結構可以使用。需要權衡的是訪問單個元素時會比較複雜，並且需要額外的數據結構。

這些數據結構主要分爲兩組：

• ˙支持高效修改的，如關鍵字字典DOK（Dictionary of keys）、LIL（List of List）或COO（Coordinate List）。它們通常用於構造矩陣。
• 支持高效訪問和矩陣操作的那些，例如CSR（壓縮稀疏行）或CSC（壓縮稀疏列）。

關鍵字詞典（DOK）

DOK由一個將（行、列）作爲關鍵字映射到元素值的字典組成。字典中缺少的元素將被視爲零。這種格式有利於按隨機順序遞增地構造稀疏矩陣，但不利於按字典順序迭代非零值。通常用這種格式構造一個矩陣，然後轉換成另一種更有效的格式進行處理。

嵌套列表（LIL – List of List）

LIL每行存儲一個列表，每個條目包含列索引和值。通常，這些條目按列索引進行排序，以便更快地查找。這是另一種適合增量矩陣構造的格式。

座標列表（COO）

COO存儲（行、列、值）元組的列表。理想情況下，條目首先按行索引排序，然後按列索引排序，以提高隨機訪問時間。這是另一種適合增量矩陣構造的格式。

壓縮稀疏行（CSR、CRS或耶魯格式）

壓縮稀疏行（CSR）或壓縮行存儲（CRS）或Yale格式表示由三個（一維）數組組成的矩陣M，這些數組分別包含非零值、行的範圍和列索引。它類似於COO，但壓縮行索引，因此得名。這種格式允許快速行訪問和矩陣向量乘法（Mx）。CSR格式至少從20世紀60年代中期開始使用，第一次完整的描述出現在1967年

CSR格式使用三個（一維）數組（V，COL_INDEX，row_INDEX）以行的形式存儲稀疏m×n矩陣m。設NNZ表示M中非零項的數量（注意，此處應使用從零開始的索引）

• 數組V和COL_INDEX的長度爲NNZ，分別包含這些值的非零值和列索引。
• 數組ROW_INDEX在矩陣中每行有一個元素，並在給定行開始的地方將索引編碼爲V。（它可能包含一個設置爲NNZ的額外結束元素）。

例如，矩陣

$\left( \begin{array}{cc} 0& 0 & 0 & 0 \\ 5 & 8 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 0 \end{array} \right)$
是具有4個非零元素的4×4矩陣，因此

V=[5 8 3 6]
COL_INDEX=[0 1 2 1]
ROW_INDEX=[0 0 2 3]

假設是索引是從0開始的語言。
要提取行，我們首先定義：

row_start=ROW_INDEX[row]
row_end=ROW_INDEX[row+1]

然後我們從V和COL_INDEX中提取切片，從row_start到row_end。

爲了訪問這個矩陣的行1（第二行），我們設置row_start=0和row_end=2。然後我們將切片V[0:2]=[5，8]和COL_INDEX[0:2]=[0，1]。我們現在知道，在第1行的第0列和第1列有兩個元素，值分別爲5和8。

在這種情況下，CSR表示用了13個條目，而原始矩陣中只有16個條目。只有當$NNZ<（m（n−1）–1 /2$時，CSR格式纔會節約內存。另一個例子，矩陣

$\left( \begin{array}{cc} 10 & 20 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 30 & 0 & 40 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 50 & 60 & 70 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 80 \end{array} \right)$
是一個有8個非零元素的4×6矩陣（24個元素），所以

   V         = [ 10 20 30 40 50 60 70 80 ]
   COL_INDEX = [  0  1  1  3  2  3  4  5 ]   
   ROW_INDEX = [  0  2  4  7  8 ]

整個存儲爲21個條目。

ROW_INDEX將數組V拆分成行：（10，20）（30，40）（50，60，70）（80）；

列索引確定這些值的列：（10，20，…）（0，30，0，40，…）（0，0，50，60，70，0）（0，0，0，0，0，80）。
注意，在這種格式中，ROW_INDEX的第一個值始終爲零，最後一個值始終爲NNZ，因此它們在某種意義上是冗餘的（儘管在需要顯式存儲數組長度的編程語言中，NNZ不會是冗餘的）。儘管如此，這確實避免了在計算每一行的長度時處理異常情況的需要，因爲這保證了公式$row_INDEX[i+1]-row_INDEX[i]$對任何一行i都有效。此外，對於足夠大的矩陣來說，此冗餘存儲的內存成本是微不足道的。

耶魯稀疏矩陣格式（新版或舊版）是CSR方案的實例。舊的Yale格式與上面描述的完全一樣，有三個數組；新的格式將ROW_INDEX和COL_INDEX組合成一個數組，並分別處理矩陣的對角線。

對於邏輯鄰接矩陣，可以省略數據數組，因爲行數組中的元素的存在足以建模二元鄰接關係。

它被稱爲耶魯格式，可能因爲它是在1977年耶魯大學計算機科學系的耶魯稀疏矩陣包報告中提出的。

壓縮稀疏列（CSC或CCS）

CSC與CSR類似，不同之處在於首先按列讀取值，爲每個值存儲一個行索引，並存儲列指針。例如，CSC是（val，row_ind，col_ptr），其中val是矩陣的（從上到下，然後從左到右）非零值的數組；row_ind是對應於這些值的行索引；col_ptr是每列開始的val索引的列表。該名稱基於列索引信息相對於COO格式進行壓縮的事實。一種通常使用另一種格式（LIL、DOK、COO）進行構建。這種格式對於算術運算、列切片和矩陣向量積是有效的。見scipy.sparse.csc_矩陣. 這是在MATLAB中指定稀疏矩陣的傳統格式（通過稀疏函數）。

參考文獻
https://en.wikipedia.org/wiki/Sparse_matrix