NOIP2017賽前模擬 STAR （合理證明覆雜度）

題目描述：
　給定一個無重邊和自環的無向圖，求有多少個如下圖的鱈魚圖（四個點五條邊—只看黑色的邊）：
　
輸入格式：
第一行一個整數T，表示有T組數據。
每組數據，第一行兩個整數N，M，表示N個點，M條邊。
接下來M行，每行兩個整數U，V，表示U，V之間有一條無向邊。
輸出格式：
每組數據輸出一個整數表示鱈魚的個數（如果組成鱈魚的邊集不同，視爲不同）

數據範圍：
2<=N<=100000 ; 1<=M<=min(200000 , N*(N-1)/2 ; T<=3。

題解：
　對於鱈魚圖的正確理解是，兩個三元環有一條公共邊。
　然後我們可以對於每個點，先將它連向的點，打上標記，再枚舉每個入度小於它的邊另一邊的點，判斷即可，複雜度爲O（mm−−√ ）。
　上課聽凱爺講證明，應該是將所有點按入度大小分爲兩類，一類入度大於m−−√ 的爲重點，另一類爲輕點。分三類情況考慮，即一個圖全是重點，全是輕點，和都有的情況；全是重點，重點個數不超過m−−√ ，連的邊最多m 條，是O（mm−−√ ）；全是輕點，輕點總數不超過m ,連的邊不超過m−−√ ，也是O（mm−−√ ）；都有的情況，我們每次枚舉輕點的出邊，也是O（mm−−√ ）。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 100005;
int T,n,m,tot,x,y,r[N],first[N],nxt[N*4],to[N*4];
long long ans;
int vis[N];
inline int Readint(){
    int i=0;char c;
    for(c=getchar();!isdigit(c);c=getchar());
    for(;isdigit(c);c=getchar()) i=(i<<1)+(i<<3)+c-'0';
    return i;
}

inline void add(int x,int y){
    nxt[++tot]=first[x];first[x]=tot;
    to[tot]=y;r[x]++;
}

void calc(int u){
    int cnt;
    for(register int i=first[u];i;i=nxt[i]) vis[to[i]]=u;
    for(register int i=first[u];i;i=nxt[i]){
        int v=to[i];
        cnt=0;
        if(r[u]>=r[v]){
            if(r[u]==r[v]&&u>v) continue;
            for(int j=first[v];j;j=nxt[j])
              if(vis[to[j]]==u)  cnt++;
            ans+=(long long)((cnt-1)*cnt/2);
        }
    }
}

int main(){
//  freopen("lx.in","r",stdin);
    T=Readint();
    while(T--){
        ans=0,tot=0;
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(r,0,sizeof(r));
        memset(first,0,sizeof(first));
        n=Readint(),m=Readint();
        for(register int i=1;i<=m;i++){
            x=Readint(),y=Readint();
            add(x,y);add(y,x);
        }
        for(register int i=1;i<=n;i++) calc(i);
        cout<<ans<<endl;
    }
}