題目描述
有一個 9 位數的正整數 x ,去除掉中間的第5位的數字得到整數 y，求問存在多少個這樣的 x，使得 x 可以被 y 整除.
問題抽象
設x=(a10+b)10^4 + c
其中1000 =< a<=9999，0 =< b <= 9，0 =< c <= 9999
y=a10^4 + c
x = ky, k > 1
則有((10-k)*a+b)*10^4 + (1-k)c = 0
問題變爲a,b,c,k滿足約束條件的整數解。
解
((10-k)*a+b)*10^4與(1-k)c兩項必定異號或同爲0
1）同爲0的情況
因爲k>1，因此 c = 0
(10-k)a + b = 0 得出 k = 10, b = 0
因此對於 b = 0, c= 0的情況， a取1000~9999的任何值都可以，
此時共有9000種情況
2）異號的情況
因爲k > 1，得出 (1-k)c < 0且((10-k)*a+b)*10^4 > 0，
進一步得出 1 < k <= 10 （k如果大於10則((10-k)*a+b)*10^4 > 0不成立）
假設 k ≠ 10
則((10-k)a+b >= 1000，此時若要方程成立，則((10-k)*a+b)*10^4 > 10^7,
而(1-k)c < 10^5，等式不可能成立
因此 k = 10
則問題變爲
b*10^4 -9c = 0 有多少組滿足約束條件的整數解。
因爲b*10^4不能被9整除，因此情況 2)無解。
**綜上，只有1）情況下有解，共有9000種可能的解。 **