CodeForces #553 E&F

E. Number of Components

解法：

1. $dp[i]$ 維護從節點$1$到$i$爲止的$\sum\sum f(l,r)$值。
2. 那麼有$dp$轉移方程：
   $dp[i] = \begin{cases} dp[i-1] + (val[i] - val[i-1]) * (n - val[i] + 1) & \text{if $val[i] > val[i-1]$} \\ dp[i-1] + (val[i-1] - val[i]) * val[i] & \text{if $val[i] <= val[i-1]$} \\ \end{cases}$

複雜度：$O(n)$

F. Sonya and Informatics

解法：

1. 假設有$zero$個$0$，$one$個$1$
2. 維護$dp[i][j]$，$j$步後前$zero$位有$i$位是$0$的交換方法。
3. 轉移方程：
   $dp[i][j] = dp[i-1][j] * i * (one - (zero - i)) \\ + dp[i+1][j]*(zero - i) * (zero - i) \\ + dp[i][j]*((zero-1)*zero/2+(one-1)*one/2+i*(zero-i)+(zero-i)*(one-(zero-i)))$
4. 用矩陣快速冪維護轉移方程
5. 需要知道：$\frac{P}{Q} \ mod \ p=\frac{P/gcd(P,Q)}{Q/gcd(P,Q)}\ mod \ p$所以不需要考慮約分$mod$的問題

複雜度：$O(n^3log_{k})$