中國剩餘定理 及 拓展中國剩餘定理模板

求解同餘方程組：
$\left\{\begin{matrix} x\equiv r_1 \pmod {m_1}\\ x\equiv r_2 \pmod {m_2}\\ \cdots\\ x\equiv r_n \pmod {m_n}\\ \end{matrix}\right.$

---

①中國剩餘定理

當$m_1,m_2,\cdots,m_n$互質時，可用中國剩餘定理解$x$。

設$M$爲$m_1,m_2,\cdots,m_n$的最小公倍數（LCM），由於各項互質，則有

$M=\displaystyle\prod^n_{i=1}m_i$

對於每一個同餘方程，設一個$t_i$，爲同餘方程 $\frac{M}{m_i}t_i\equiv 1\pmod {m_i}$的最小非負整數解。

則可解得同餘方程組：

• 特解：$x=\displaystyle\sum^n_{i=1}r_i\frac{M}{m_i}t_i$
• 通解：$X=x+kM\;\;\;\;(k\in Z)$
• 最小非負整數解：$x_{min}=(x\mod M+M)\mod M$

模板：

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)    //拓展歐幾里得 解單個同餘方程
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
LL r[maxn],m[maxn];
LL CRT()
{
    LL M=1,res=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        M*=m[i];       //最小公倍數LCM
    LL a,b,d,x,y;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        a=M/m[i],b=m[i];
        exgcd(a,b,d,x,y);    //解同餘方程：M/m[i] * t ≡ 1 (mod m[i])
                             //由於M/m[i]和m[i]互質，gcd恰爲 1，所以一定有解
        x=(x%b+b)%b;         //最小非負整數解
        res=(res+r[i]*(M/m[i])*x)%M;   //加到特解當中
    }
    return res;
}

---

②拓展中國剩餘定理

當$m_1,m_2,\cdots,m_n$不一定互質時，需用拓展中國剩餘定理解$x$。

設 $M_k$ 爲$m_1,m_2,\cdots,m_k$（即前$k$個$m$）的 最小公倍數（LCM），前$k$個方程組的一個特解爲$x_k$。

對於 第$k$個同餘方程，設一個$t$，爲同餘方程 $x_{k-1}+t*M_{k-1}\equiv r_k\pmod {m_k}$ 的最小非負整數解。

則有$x_k=x_{k-1}+t*M_{k-1}$。

遞推可解得同餘方程組：

• 特解：$x_n$
• 通解：$X=x_n+kM_n\;\;\;\;(k\in Z)$
• 最小非負整數解：$x_{min}=(x_n\mod M_n+M_n)\mod M_n$

模板：

void exgcd(LL a,LL b,LL &d,LL &x,LL &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=x*(a/b);
    }
}
LL r[maxn],m[maxn];
LL EXCRT()
{
    LL M=m[1],res=r[1];
    LL a,b,c,d,x,y,t;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {                  //c轉爲正
        a=M,b=m[i],c=((r[i]-res)%m[i]+m[i])%m[i];
        exgcd(a,b,d,x,y);   //求解同餘方程：t*M ≡ r[i]-x (mod m[i])
        if(c%d!=0)
        	return -1;      //無解
        t=b/d;
        x=x*c/d;
        x=(x%t+t)%t;
        res+=x*M;  //更新x
        M*=t;      //更新LCM：M = M*m[i]/gcd(M,m[i])
        res=(res%M+M)%M;
    }
    return res;
}