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微分方程基礎
1. 初始值問題
微分方程描述了未知數和它的導數之間的關係。解一個微分方程就是要找到一個關係來滿足這個方程，有時候也要同時滿足一些附加條件。這裏主要討論常微分方程，比如下面的形式。
 "/dot{x}=f(x,t)")
這裏f是已知函數，x是該方程的狀態（比如可以表示位移，大小等等），
%20=%20x_%7B0%7D "x(t_{0}) = x_{0}")
一般的微分方程可以很簡單的來可視化。在一個2D平面中， "x(t)")
在x的向量是一個速度向量，它把點P從一個位置移動到另一個位置，從向量場的任意一個位置放入一個點P，那麼這個向量場就會把P點移動到另一個位置。一但放入了點P，P點的運動狀態就由這個函數f來決定。而且P點的運動軌跡還取決於在什麼地方放下的P點。
一個關於x和t的函數，但是它的導數不一定直接依賴於時間。如果依賴於時間，那麼P點和向量場都要移動，所以P點在x的速度不僅取決於從什麼地方把它放入向量場，而且還取決於P點什麼時候到達x點。在這種情況下，
2.歐拉方法(Euler's Method)
解微分方程最簡單的數值方法叫做歐拉方法。給定一個x的初始值 "x_{0}=x(t_{0})")
 "x(t_{0}+h)")
=x_%7B0%7D+h%20/dot%7Bx%7D(t_%7B0%7D) "x(t_{0}+h)=x_{0}+h /dot{x}(t_{0})")
我們也可以用圖形來可視化歐拉方法。歐拉方法近似代替了真正的積分曲線，P點的運動軌跡就是下圖中的多邊形，如下圖。
雖然歐拉方法很簡單，但是不精確。從上圖可以看到，時間不長越長，近似的曲線越不精確。而且歐拉方法還不穩定。比如函數
3.中點方法(Midpoint Method)
歐拉方法有很簡單，但是他的缺點也是很明顯的，還有一種叫做中點方法的數值微分方程的解法，它比歐拉方法更精確。由泰勒展開式
=x(t_%7B0%7D)+%20h%20/dot%7Bx%7D(t_%7B0%7D)+/frac%7Bh%5E%7B2%7D%7D%7B2%7D/ddot%7Bx%7D(t_%7B0%7D)+O(h%5E%7B3%7D) "x(t_{0}+h)=x(t_{0})+ h /dot{x}(t_{0})+/frac{h^{2}}{2}/ddot{x}(t_{0})+O(h^{3})")
來計算的。因爲
所以有
=f(x_%7B0%7D)+/Delta%20x%20%7Bf%7D'(x_%7B0%7D)+O(/Delta%20x%5E%7B2%7D) "f(x_{0}+/Delta x)=f(x_{0})+/Delta x {f}'(x_{0})+O(/Delta x^{2})")
現在我們取
 "/Delta x = /frac{h}{2} f(x_{0})")
帶入前面的等式，可以得到
)=f(x_%7B0%7D)+/frac%7Bh%7D%7B2%7D%20f(x_%7B0%7D)%7Bf%7D'(x_%7B0%7D)+O(h%5E%7B2%7D)=f(x_%7B0%7D)+/frac%7Bh%7D%7B2%7D/ddot%7Bx%7D(t_%7B0%7D)+O(h%5E%7B2%7D) "f(x_{0}+/frac{h}{2}f(x_{0}))=f(x_{0})+/frac{h}{2} f(x_{0}){f}'(x_{0})+O(h^{2})=f(x_{0})+/frac{h}{2}/ddot{x}(t_{0})+O(h^{2})")
移項整理後
%20=%20x(t_%7B0%7D)+%20h(f(x_%7B0%7D+/frac%7Bh%7D%7B2%7Df(x_%7B0%7D))) "x(t_{0}+h) = x(t_{0})+ h(f(x_{0}+/frac{h}{2}f(x_{0})))")
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