一個經典約瑟夫問題的分析與解答
一、約瑟夫問題的由來
約瑟夫問題（Josephus）是由古羅馬的史學家約瑟夫（全名Titus Flavius Josephus）提出的。它是一個出現在計算機科學和數學中的經典問題。在計算機編程的算法中，類似問題又稱爲約瑟夫環。（更好的閱讀體驗，移步程序員在旅途）
Josephus是1世紀的一名猶太曆史學家。他在自己的日記中寫道，他和他的40個戰友被羅馬軍隊包圍在洞中。他們討論是自殺還是被俘，最終決定自殺，並以抽籤的方式決定誰殺掉誰。41個人排成一個圓圈，由第1個人開始報數，每報數到第3人該人就必須自殺，然後再由下一個重新報數，直到所有人都自殺身亡爲止。然而Josephus 和他的朋友並不想遵從。首先從一個人開始，越過k-2個人（因爲第一個人已經被越過），並殺掉第k個人。接着，再越過k-1個人，並殺掉第k個人。這個過程沿着圓圈一直進行，直到最終只剩下一個人留下，這個人就可以繼續活着。Josephus將朋友與自己安排在第16個與第31個位置，於是逃過了這場死亡遊戲。
約瑟夫問題的一般描述形式爲：設有編號爲1，2，……，n的N個人圍成一個圈，從第1個人開始報數，報到M時停止報數，報M的人出圈，再從他的下一個人起重新報數，報到M時停止報數，報M的出圈，……，按照這個規則進行下來，直到所有人全部出圈爲止。當任意給定N和M後，構建相關數據結構與算法求N個人出圈的次序。
二、典型例題
有n個人圍成一圈，順序排號。從第一個人開始報數（從1到3報數），凡報到3的人退出圈子，問最後留下來的是原來第幾號的那個人。
三、分析解答
可以採用數組或者循環鏈表的數據結構來解答這道題目。各有優點。數組實現起來簡單，但是邏輯上覆雜。循環鏈接邏輯上簡單，實現起來複雜。下面採用兩種方法解答此題。
3.1 採用數組存儲數據
利用數組保存這N個人的序號，設計兩個計數器，一個k作爲報數計數器，一個m作爲退出人數報數器。從第一個人開始計數（數組下標i=0），計數器k到3後清零，數組元素報到最後的時候再從第一個人開始。每退出一個人，相應的數組元素置0，報數計數時只對非0元素計數，當計數器m到n-1是說明只剩下一個人，這時候算法結束，輸出剩下人的編號即可。
#include<stdio.h>
#define NMAX 50
int main(){
//k 報數計數器
//m 退出人數計數器
int i,k,m,n,num[NMAX];
scanf("%d",&n);
//給N個人寫上序號
for(i=0;i<n;i++){
num[i] = i+1;
}
i = k = m =0;
// m = n-1 時說明只剩下一個人
while(m < n -1){
//當前位置的值不爲0，則計數，爲0代表退出了
if(num[i] != 0){
k++;
}
//計數器K=3的位置人數退出，退出的位置記爲0。計數器歸0重新計數。退出人數m+1；
if(k == 3){
num[i] = 0;
m++;
k = 0;
}
i++;
if(i == n){
i = 0;
}
}
//輸出最後留下來的那個數
i= 0;
while(num[i] ==0){
i++;
}
printf("Left is %d\n", num[i]);
return 0;
}
3.2 採用循環鏈表存儲數據
利用循環鏈表存儲N個人的序號。將報到k=3的節點從循環鏈表彙總移除，最後只剩下一個節點循環結束，輸出剩下人的編號即可。（其中報數器K的值可以自定義）
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct Num_node{
int data;
struct Num_node *next;
}Num_Node;
int main(){
//n 總人數，m退出的人數，k報數計數器
int n,k;
Num_Node *head = NULL , *tail =NULL, *p = NULL;
int i=0;
//輸入N，然後初始化鏈表
scanf("%d",&n);
while(i++<n){
//申請節點所佔用的內存空間
if( (p = (Num_Node *)malloc(sizeof(Num_Node))) == NULL){
printf("memery is not available");
exit(1);
}
p->data = i;
p->next = NULL;
//當前申請的是第一個節點
if(head == NULL){
head = tail = p;
}else{
//鏈尾插值
tail->next = p;
tail = p;
}
//如果是最後一個元素，讓其指向head:這樣就構成了循環鏈表
if(i == n){
tail->next = head;
}
}
//凡是報到k=3的節點就從鏈表中去除。（這個k可以自己定義，只要K<N就行）
k = 3;
p = head;
Num_Node *pre_p = NULL; //p的前驅指針，刪除p的時候，需要用到這個指針。
while(p->next != p) //直到p指向自己，說明只剩下一個元素了。
{
for(i = 1; i < k; i++)
{
pre_p = p;
p = p->next;
}
pre_p->next = p->next;
free(p); // 刪除結點，從內存釋放該結點佔用的內存空間
p = pre_p->next;
}
printf("Left is %d \n",p->data);
return 0;
}
三、總結
約瑟夫問題是一個經典的計算機與數學問題，由來已久，解法也各異。上面兩種方法，分別利用了數組、循環鏈表數據結構來分析這個題目，雖然都可以解決，但是邏輯上的複雜性卻有很大的差異。這其中就能夠看出數據結構在解決問題過程中的重要性，合適的數據結構會大大降近解題的難度。