零基礎信號與系統學習筆記：復指數信號、傅里葉變換、三角函數正交性
終於還是躲不過信號與系統，在此記錄學習筆記。😉 爭取從零開始一遍搞懂定期更新！！！ 【2020年4月14日完結】
友鏈：奧本海姆第三章
復指數信號是指數信號的指數因子是複數 時，稱之爲復指數信號。
復指數信號在物理上是不可實現的，但是它概括了多種情況。利用復指數信號可以表示常見的普通信號，如直流信號、指數信號、正弦信號等。
復指數信號的微分和積分仍然是復指數信號 ，利用復指數信號可以使許多運算和分析簡化。因此，復指數信號是信號分析中非常重要的基本信號。
一般情況下的復指數信號爲f ( x ) = K e ( σ + j w ) t f(x)=Ke^{(\sigma + jw)t} f ( x ) = K e ( σ + j w ) t σ \sigma σ s = σ + j w s=\sigma + jw s = σ + j w f ( x ) = K e s t f(x)=Ke^{st} f ( x ) = K e s t
f ( x ) = K e ( σ + j w ) t = K e σ t + j w t = K e σ t ( c o s ( w t ) + j s i n ( w t ) ) f(x)=Ke^{(\sigma + jw)t}=Ke^{\sigma t+jwt}=Ke^{\sigma t}(cos(wt)+jsin(wt) ) f ( x ) = K e ( σ + j w ) t = K e σ t + j w t = K e σ t ( c o s ( w t ) + j s i n ( w t ) )
此結果表明：
一個復指數信號可分爲實、虛兩部分。
實部包含餘弦信號，虛部則爲正弦信號 。指數因子實部 σ \sigma σ 振幅隨時間變化 的情況.指數因子的虛部w表示角頻率
相應的，結題技巧有：cos ( n cos t ) = 1 2 ( e j w 0 t + e − j w 0 t ) \cos (n \cos t)=\frac{1}{2}\left(e^{j w_{0} t}+e^{-j w_{0} t}\right) cos ( n cos t ) = 2 1 ( e j w 0 t + e − j w 0 t )
當振幅不隨時間變化時，σ = 0 \sigma=0 σ = 0 e j w t e^{jwt} e j w t
虛指數信號形式，爲等幅正弦信號 。
具有周期性，其週期爲2π/ω；
∣ e j w t ∣ = c o s 2 ( w t ) + s i n 2 ( w t ) = 1 |e^{jwt}|=cos^2(wt)+sin^2(wt)=1 ∣ e j w t ∣ = c o s 2 ( w t ) + s i n 2 ( w t ) = 1 e j w t e^{jwt} e j w t
如果把虛指數信號作爲控制系統的輸入函數 ，那麼系統的輸出也應當是一個複數 ，輸出的實部與輸入的實部：cos（wt）相對應；輸出的虛部與輸入的虛部：sin(wt)相對應。
作用： ( 響 應 實 部 2 + 響 應 虛 部 2 ) \sqrt{(響應實部^2+響應虛部^2)} ( 響 應 實 部 2 + 響 應 虛 部 2 ) w w w
當σ = 0 且 w = 0 \sigma=0 且w=0 σ = 0 且 w = 0
任何週期函數都可以用正弦函數和餘弦函數構成的無窮級數來表示，這個級數就稱爲傅里葉級數X ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ [ a n cos ( n ω t ) + b n sin ( n ω t ) ] = a 0 + ∑ n = 1 ∞ c n sin ( n ω t + θ n ) = a 0 + c 1 sin ( ω t + θ 1 ) + c 2 sin ( 2 ω t + θ 2 ) + ⋯ n = 1 , 2 , ⋯
\boxed{\begin{aligned}
X(t)=& a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty}\left[a_{n} \cos (n \omega t)+b_{n} \sin (n \omega t)\right]=\\
& a_{0}+\sum_{n=1}^{\infty} c_{n} \sin \left(n \omega t+\theta_{n}\right)=\\
& a_{0}+c_{1} \sin \left(\omega t+\theta_{1}\right)+c_{2} \sin \left(2 \omega t+\theta_{2}\right)+\cdots \\
& n=1,2, \cdots
\end{aligned}} X ( t ) = a 0 + n = 1 ∑ ∞ [ a n cos ( n ω t ) + b n sin ( n ω t ) ] = a 0 + n = 1 ∑ ∞ c n sin ( n ω t + θ n ) = a 0 + c 1 sin ( ω t + θ 1 ) + c 2 sin ( 2 ω t + θ 2 ) + ⋯ n = 1 , 2 , ⋯ 特別注意：X(t)週期是T，則cos, sin 的週期是T/n
使用基礎1中的虛指數信號，得到X ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k ⋅ e j k w 0 t \boxed{
X(t)=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} \cdot e^{jkw_{0}t}} X ( t ) = k = − ∞ ∑ + ∞ a k ⋅ e j k w 0 t
左右同乘e − j n ω 0 t e^{-j n \omega_{0} t} e − j n ω 0 t x ( t ) e − j n ω 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j ( k − n ) ω 0 t x(t) e^{-j n \omega_{0} t}=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} e^{j(k-n) \omega_{0} t} x ( t ) e − j n ω 0 t = k = − ∞ ∑ + ∞ a k e j ( k − n ) ω 0 t
兩邊對t從0到T = 2 π / w 0 T=2\pi/w_{0} T = 2 π / w 0 ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t = ∫ 0 T ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j ( k − n ) ω 0 t d t \int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t=\int_{0}^{T} \sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t = ∫ 0 T k = − ∞ ∑ + ∞ a k e j ( k − n ) ω 0 t d t a k a_{k} a k ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k [ ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t ] \int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t=\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k}\left[\int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t\right] ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t = k = − ∞ ∑ + ∞ a k [ ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t ]
對於右邊的積分，由歐拉關係：∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t = ∫ 0 T cos ( k − n ) ω 0 t d t + j ∫ 0 T sin ( k − n ) ω 0 t d t \int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t=\int_{0}^{T} \cos (k-n) \omega_{0} t d t+j \int_{0}^{T} \sin (k-n) \omega_{0} t d t ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t = ∫ 0 T cos ( k − n ) ω 0 t d t + j ∫ 0 T sin ( k − n ) ω 0 t d t 三角函數積分的正交性 *(見擴充知識 )，積分值當且僅當n=k時不爲0：∑ k = − ∞ + ∞ a k [ ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t ] = T a n a n = 1 T ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t \begin{aligned}
&\sum_{k=-\infty}^{+\infty} a_{k}\left[\int_{0}^{T} e^{j(k-n) \omega_{0} t} d t\right]=T a_{n}\\
&a_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t
\end{aligned} k = − ∞ ∑ + ∞ a k [ ∫ 0 T e j ( k − n ) ω 0 t d t ] = T a n a n = T 1 ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t
即知傅里葉級數的係數爲a n = 1 T ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t \boxed{a_{n}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} x(t) e^{-j n \omega_{0} t} d t} a n = T 1 ∫ 0 T x ( t ) e − j n ω 0 t d t
“建立三角函數座標系，1，coswt,cos2wt,…,sinwt,sin2wt,…爲正交基（不同基點積=0，同基點積！=1，所以是正交基，但是非標準正交基），則函數f(t)可以表示爲三角函數座標系下的點，其座標即爲a0,an,bn。用f(t)與各個基進行點積計算就可得到a0,an,bn”https://blog.csdn.net/lijil168/article/details/89261861
例題：已知f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n w t + b n sin w t ) f(t)={a_{0}} +\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n w t+b_{n} \sin w t\right) f ( t ) = a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n w t + b n sin w t ) a 0 、 a n 、 b n a_{0}、a_{n}、b_{n} a 0 、 a n 、 b n 解 ：
點積⟨ u , v ⟩ {\langle u,v\rangle} ⟨ u , v ⟩ ⟨ u , v ⟩ = ∫ u v d t {\langle u,v\rangle}=\int uv dt ⟨ u , v ⟩ = ∫ u v d t
a 0 = ⟨ f , 1 ⟩ ⟨ 1 , 1 ⟩ = ∫ − 1 2 T 2 f ( t ) d t ∫ − 1 2 T 2 d t = ∫ − T 2 T 2 f ( t ) d t T a_{0}=\frac{\langle f, 1\rangle}{\langle 1,1\rangle}=\frac{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) d t}{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{T}{2}} d t}=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) d t}{T} a 0 = ⟨ 1 , 1 ⟩ ⟨ f , 1 ⟩ = ∫ − 2 1 2 T d t ∫ − 2 1 2 T f ( t ) d t = T ∫ − 2 T 2 T f ( t ) d t a n = ⟨ f , cos n w t ⟩ ⟨ cos n t , cosn w t ⟩ = ∫ − π 2 T 2 f ( t ) cos n t d t ∫ − T 2 T 2 cos 2 n w t d t = ∫ − T 2 T 2 f ( t ) cos n w t d t T 2 a_{n}=\frac{\left\langle f, \cos nw t\right\rangle}{\left\langle\cos nt,\text { cosn }wt \right\rangle}=\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos n t d t}{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} \cos ^{2} n w t d t}=\frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(t) \cos n w t d t}{\frac{T}{2}} a n = ⟨ cos n t , cosn w t ⟩ ⟨ f , cos n w t ⟩ = ∫ − 2 T 2 T cos 2 n w t d t ∫ − 2 π 2 T f ( t ) cos n t d t = 2 T ∫ − 2 T 2 T f ( t ) cos n w t d t b n = ⟨ f , sin n w t ⟩ ⟨ sin n w t , sin n w t ⟩ = ∫ − 1 2 π 2 f ( t ) sin n w t d t ∫ − π 2 π 2 sin 2 n v t d t = ∫ − π 2 π 2 f ( t ) sin n w t d t T 2 b_{n}=\frac{\langle f, \sin n w t\rangle}{\langle\sin n w t, \sin n w t\rangle}=\frac{\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin n w t d t}{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} n v t d t}=\frac{\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(t) \sin n w t d t}{\frac{T}{2}} b n = ⟨ sin n w t , sin n w t ⟩ ⟨ f , sin n w t ⟩ = ∫ − 2 π 2 π sin 2 n v t d t ∫ − 2 1 2 π f ( t ) sin n w t d t = 2 T ∫ − 2 π 2 π f ( t ) sin n w t d t
注意：三角基正交，但不是標準正交基，因爲⟨ 1 , 1 ⟩ ， ⟨ c o s n w t , c o s n w t ⟩ ， ⟨ s i n n w t , s i n n w t ⟩ ≠ 1 {\langle 1,1\rangle}，{\langle cosnwt, cosnwt\rangle}，{\langle sinnwt, sinnwt\rangle} \not= 1 ⟨ 1 , 1 ⟩ ， ⟨ c o s n w t , c o s n w t ⟩ ， ⟨ s i n n w t , s i n n w t ⟩ = 1
∫ 0 x 2 cos n x d x = ∫ 0 π 2 sin n x d x = { ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 m ) ! ! ⋅ π 2 n = 2 m ( 2 m − 2 ) ! ! ( 2 m − 1 ) ! ! , n = 2 m − 1 \boxed{\int_{0}^{\frac{x}{2}} \cos ^{n} x d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{n} x d x=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{(2 m-1) ! !}{(2 m) ! !} \cdot \frac{\pi}{2} & n=2 m \\
\frac{(2 m-2) ! !}{(2 m-1) ! !}, & n=2 m-1
\end{array}\right.} ∫ 0 2 x cos n x d x = ∫ 0 2 π sin n x d x = { ( 2 m ) ! ! ( 2 m − 1 ) ! ! ⋅ 2 π ( 2 m − 1 ) ! ! ( 2 m − 2 ) ! ! , n = 2 m n = 2 m − 1
以下內容摘自奧本海姆-離散時間信號處理
δ \delta δ
二更 ：
時域和頻域是在不同角度觀察信號：三角函數正交性 ，只需要內積，也就是上文的傅里葉變換公式，就可以提取包含w w w 如果不包含，則內積結果爲0 ）
因爲所有的正弦波餘弦波都有最大值，如果要描述一個在遠處是無窮的信號，就很沒用。因此要對原信號乘上一個衰減因子。f ( x ) = K e ( σ + j w ) t = K e σ t + j w t = K e σ t ( c o s ( w t ) + j s i n ( w t ) ) f(x)=Ke^{(\sigma + jw)t}=Ke^{\sigma t+jwt}=Ke^{\sigma t}(cos(wt)+jsin(wt) ) f ( x ) = K e ( σ + j w ) t = K e σ t + j w t = K e σ t ( c o s ( w t ) + j s i n ( w t ) ) σ \sigma σ
有衰減因子的傅里葉變換 ：∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − σ t ⋅ e − j w t ⋅ d t \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-\sigma t} \cdot e^{-j w t} \cdot d t ∫ − ∞ + ∞ f ( t ) e − σ t ⋅ e − j w t ⋅ d t
物理上還可以理解爲 ：爲讓一個邊震盪邊增加幅度 的正弦波來參與原函數。
在上文 中已經推導了函數的傅里葉係數，則對於週期爲2π \pi π f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) f ( x ) = 2 a 0 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) ( a n = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n = 0 , 1 , ⋯ ) b n = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n = 1 , 2 , ⋯ ) \begin{aligned}
f(x) &=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) \\
\left (a_{n}\right.&=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos n x \mathrm{d} x \quad(n=0,1, \cdots) \\
b_{n} &=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin n x \mathrm{d} x \quad(n=1,2, \cdots)
\end{aligned} f ( x ) ( a n b n = 2 a 0 + n = 1 ∑ ∞ ( a n cos n x + b n sin n x ) = π 1 ∫ − π π f ( x ) cos n x d x ( n = 0 , 1 , ⋯ ) = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin n x d x ( n = 1 , 2 , ⋯ )
參考https://www.zhihu.com/question/279808864/answer/552617806 對相位進行補償 ，從而獲得移位的效果。
利用：
當兩個單位圓周（單位值號）之間角度差180度的時
三個單位圓周角度互相相差120度時，也有同樣現象。
… …
n個單位圓周角度互相差360/n度時，信號振幅和爲0
即可獲得單位圓震盪的表示方法，動圖 見上文知乎鏈接。
使用虛指數信號的話，即可表示成：從e − i 2 π 0 4 e^{-i 2 \pi \frac{0}{4}} e − i 2 π 4 0 e − i 2 π 1 4 e^{-i 2 \pi \frac{1}{4}} e − i 2 π 4 1
以照片爲例，低頻表示人的輪廓，高頻表示人的細節 （如斑點，皺紋等）
更長的信號可以通過疊加e − i 2 π i k e^{-i 2 \pi \frac{i}{k}} e − i 2 π k i i i i
對於不同頻率信號來說，圓周的旋轉素履是不同的。我們的信號週期爲4,頻率爲1Hz, 時移1需要1/4*360=90度的相位補償，同理1Hz信號時移2,或者2Hz的信號時移1,都需要180度。2 π n − 1 N 2 \pi \frac{n-1}{N} 2 π N n − 1
而當信號是(m_{1},m_{2},m_{3},m_{4})類型的時候，e − i 2 π i k e^{-i 2 \pi \frac{i}{k}} e − i 2 π k i 幅值平均 m i / 4 m_{i}/4 m i / 4
對於某特定頻率k，即可得到離散傅里葉變換公式：X k = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x n ⋅ e − 2 π i N k n X_{k}=\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_{n} \cdot e^{-\frac{2 \pi i}{N} k n} X k = N 1 n = 0 ∑ N − 1 x n ⋅ e − N 2 π i k n
週期<—>離散，非週期<—>連續
三更：
洛朗級數是泰勒級數的延拓版 https://www.zhihu.com/question/26482591
參考https://www.bilibili.com/video/BV1TW411F7wj?from=search&seid=15474440315054549 z = e ( σ + j w ) T = e σ ⋅ T ⋅ e j w ⋅ T = A ⋅ e j φ \begin{aligned}
z &=e^{(\sigma+j w) T} \\
&=e^{\sigma \cdot T} \cdot e^{j w \cdot T} \\
&=A \cdot e^{j \varphi}
\end{aligned} z = e ( σ + j w ) T = e σ ⋅ T ⋅ e j w ⋅ T = A ⋅ e j φ j φ j \varphi j φ σ = 0 \sigma=0 σ = 0 σ = 0 ⟶ S = σ + j w = j w \sigma=0 \longrightarrow S=\sigma+j w=j w σ = 0 ⟶ S = σ + j w = j w
z變換可以由離散信號的拉普拉斯變換推導過來：F s ( s ) F_{s}(s) F s ( s ) n ^{n} n n ^{n} n e s T = e ( σ + j ω ) T = e σ T ⋅ e j w T = A ⋅ ( c o s w T + j sin w T ) = A ( a + b j ) \begin{array}{l}
e^{s T} \\
=e^{(\sigma+j \omega) T} \\
=e^{\sigma_{T}} \cdot e^{j w_{T}} \\
=A \cdot\left(cos wT+j \sin w{T}\right)
\\ =A(a+bj)\end{array} e s T = e ( σ + j ω ) T = e σ T ⋅ e j w T = A ⋅ ( c o s w T + j sin w T ) = A ( a + b j ) 四更繼續z變換
奧本海姆定義：
幾乎整個z平面上 收斂，
注意：需要單獨討論0點和無窮點 。
經常能滿足一個條件，所以要麼包含零點，要麼包含零點
只有一個特例序列，兩邊都包含，就是下圖：
例子2：R N ( n ) R_{N}(n) R N ( n )
X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ R N ( n ) z − n = ∑ n = 0 N − 1 z − n = 1 + z − 1 + z − 2 − 1 + ⋯ + z − ( N − 1 ) X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} R_{N}(n) z^{-n}=\sum_{n=0}^{N-1} z^{-n}=1+z^{-1}+z^{-2}-1+\cdots+z^{-(N-1)} X ( z ) = n = − ∞ ∑ ∞ R N ( n ) z − n = n = 0 ∑ N − 1 z − n = 1 + z − 1 + z − 2 − 1 + ⋯ + z − ( N − 1 ) X ( z ) = 1 − z − N 1 − z − 1 , 0 < 1 z ∣ ≤ ∞ X(z)=\frac{1-z^{-N}}{1-z^{-1}}, 0<1 z | \leq \infty X ( z ) = 1 − z − 1 1 − z − N , 0 < 1 z ∣ ≤ ∞
可以看做兩者之和
收斂域是公共部分 的圓環
c在收斂區間內
因爲圍線積分很麻煩，求解逆z變換有三種方法
正變換和收斂域重要，逆變換用的不多
部分分式，寫成零點-極點式子
對x(n-n0)做z變換：Z ( X ( n − n 0 ) ) = Z − n 0 X ( z ) \boxed{ Z(X(n-n_{0})) = Z^{-n0} X(z)} Z ( X ( n − n 0 ) ) = Z − n 0 X ( z )
所以看到z的負冪次，實際實現的是系統的延遲
記住：R N ( n ) R_{N}(n) R N ( n )
【現在已經寫了一萬三千字了。。真不容易啊，您能看到這個地方也不容易】
【所有正交變換都滿足該定理，後面DFT也會遇到】
八位系統即可完成的A/D轉換：數碼相機（每個顏色8位）
一般把系統認爲黑盒子，只研究輸入輸出的關係，不考慮實現：
z變換是DTFT的一般化，在系統裏很有用。反映了頻譜關係。
離散化之後就不用積分了。
字數太多老出BUG,本文就此完結。開新文章講離散時間系統。
【感謝您閱讀到這裏的毅力】
