【零基礎】看懂理解傅里葉變換後的頻譜圖-附例題

首先安利一個網站，在線做傅里葉變換，不用等MATLAB漫長的啓動了
https://sci2fig.herokuapp.com/fourier
文章中部分圖片來自
https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/82387854
理論部分參考了：
https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/fourier.htm
https://plus.maths.org/content/fourier-transforms-images

頻譜圖

聲音的頻譜圖很好理解，尖峯代表着該頻率有着更多的分量

關於數字信號處理的更多內容，這裏安利我的學習筆記【持續更新中】：【從零開始學信號與系統】

但是圖像的傅里葉變換抽象的多，下面講講述如何看懂傅里葉圖。

類比

將圖像視爲變化的函數，不過不是隨時間變化，而是跨圖像的二維空間變化。
在灰度數字圖像中，每個像素的值在0到255之間，代表該像素的暗度。因此，該像素的暗度或強度是水平座標和垂直座標的函數，給出了該像素的位置。您可以將圖像視爲起伏的景觀，而高度由像素值確定。

圖像也可以表示爲正弦波的總和，但是這次，它們不是一維波，而是二維變化的波，就像紙張上的波紋。

二維正弦波寫爲

$z =sin（hx + ky）$

其中x和y給出“圖紙”上各點的座標，z是該點處波浪的高度或強度，a給出波浪的振幅（最大高度），h和k給出數字波分別在x和y方向重複的次數（它們是 x和y頻率）。

當k = 0時，正弦波僅沿x軸波動。當h = 0時，它僅沿y軸波動。但是，如果k 和h都不爲零，則正弦波在片材上對角移動，並且波的傳播方向（垂直於波陣面）與斜率h / k成一定角度 。

圖像的傅里葉變換原理

圖像的傅立葉變換將圖像（起伏的地形）分解爲正弦波的總和。就像聲波一樣，對頻率繪製傅立葉變換。但是與那種情況不同，頻率空間具有二維，對於x和y維 中的波的頻率 h和k。因此，它不是以一系列尖峯的形式繪製的，而是以與原始圖像（大約）相同的像素尺寸繪製的圖像。

位置信息

傅立葉變換中的每個像素都有一個座標（h，k）表示在傅立葉變換中具有x頻率h和 y頻率k的正弦波的貢獻。

• 中心點表示（0,0）波–沒有波紋的平面–其強度（灰度顏色的亮度）是圖像中像素的平均值。
• 中心左側和右側的點代表沿x軸變化的正弦波，即k = 0）。這些點的亮度表示傅立葉變換中具有該頻率的正弦波的強度（強度是正弦波的振幅的平方）。
• 在中心點上下垂直的那些代表那些在y中變化但在x中保持恆定（即h = 0）的正弦波。傅立葉變換中的其他點表示對角波的貢獻。
  
  例如，考慮上面的圖像，在左側。這是二維波sin（x）被視爲灰度圖像。它的旁邊是此灰度圖像的傅立葉變換。
• 它具有與原始像素相同的尺寸（像素），並且全黑
• 在中心處有一些明亮的像素
• 放大傅立葉變換的中心（您可以在上面在右側看到），您會看到恰好有三個不是黑色的像素。
  • 一個是明亮的中心點，座標爲（0,0），代表（0,0）波對圖像的貢獻。
  • 兩側的明亮像素具有座標（1,0）和反射（-1,0），表示（1,0）波（我們原始圖像中的正弦波）的貢獻。
  • 傅立葉變換中的所有其餘像素都是黑色的，因爲僅使用原始（1,0）波精確描述了原始圖像。
    

圖像高頻低頻含義

圖像的頻率是表徵圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是灰度在平面空間上的梯度。

簡短概括：

• 圖像的高頻，意味着灰度變化劇烈
• 圖像的低頻，意味着灰度變化平坦

不同頻率信息在圖像結構中有不同的作用：

• 圖像的主要成分是低頻信息，它形成了圖像的基本灰度等級，對圖像結構的決定作用較小；
• 中頻信息決定了圖像的基本結構，形成了圖像的主要邊緣結構；
• 高頻信息形成了圖像的邊緣和細節，是在中頻信息上對圖像內容的進一步強化。

圖像進行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分佈圖,當然頻譜圖上的各點與圖像上各點並不存在一一對應的關係，即使在不移頻的情況下也是沒有。
傅立葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點，實際是上圖像上某一點與鄰域點差異的強弱，即梯度的大小，也即該點的頻率的大小（可以這麼理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。

對圖像的操作所造成的影響

在二維傅里葉變換中，空間域中橫向的週期變化會反應在頻譜圖中的Y軸上，而空間域中縱向的週期變化會反應在頻譜圖中的X軸上。空間域中東南方向的週期變化會反應在頻譜圖中的東北方向，反之亦然。說明見下圖。

具體公式和理論應用

參考：https://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/HIPR2/fourier.htm
由於我們只關注數字圖像，因此我們將討論僅限於離散傅立葉變換（DFT）。

DFT是採樣的傅立葉變換，因此不包含構成圖像的所有頻率，而僅包含足夠大以完全描述空間域圖像的一組採樣。頻率的數量對應於空間域圖像中的像素數量，即，空間域和傅立葉域中的圖像具有相同的大小。

對於大小爲N×N的正方形圖像，二維DFT由下式給出：

其中f（a，b）是空間域中的圖像，指數項是與傅立葉空間中每個點F（k，l）對應的基函數。該方程式可以解釋爲：通過將空間圖像乘以相應的基函數並將結果相加得出每個點F（k，l）的值。

基本函數是頻率增加的正弦和餘弦波，即 F（0,0）表示圖像的DC分量，該分量對應於平均亮度，F（N-1，N-1）表示最高頻率。

以類似的方式，可以將傅立葉圖像重新變換到空間域。傅里葉逆變換由下式給出：
【這裏不太會翻譯，看圖吧】

原網站還有關於低通濾波等操作的詳細知識，喫透了再補文。

常見的傅里葉變換結果

不同頻率的正弦波：

MIT的攝影師：

練習題

判斷上面兩張傅里葉變換頻譜圖和下面兩張原始圖像如何對應？

解答

右下角的圖片灰度變化更劇烈，由於圖像的頻率是灰度的梯度，且傅里葉變換後高頻特徵位於邊緣，因此對應着亮點分佈在更邊緣地區的左上圖：