MIT牛人解說數學體系與數學家石根華的41年傳奇(轉)
(2011-08-13 22:00:02)爲什麼要深入數學的世界
作爲計算機的學生，我沒有任何企圖要成爲一個數學家。我學習數學的目的，是要想爬上巨人的肩膀，希望站在更高的高度，能把我自己研究的東西看得更深廣一些。說起來，我在剛來這個學校的時候，並沒有預料到我將會有一個深入數學的旅程。我的導師最初希望我去做的題目，是對appearance和motion建立一個unified的model。這個題目在當今Computer Vision中百花齊放的世界中並沒有任何特別的地方。事實上，使用各種Graphical Model把各種東西聯合在一起framework，在近年的論文中並不少見。
我不否認現在廣泛流行的Graphical Model是對複雜現象建模的有力工具，但是，我認爲它不是panacea，並不能取代對於所研究的問題的深入的鑽研。如果統計學習包治百病，那麼很多 “下游”的學科也就沒有存在的必要了。事實上，開始的時候，我也是和Vision中很多人一樣，想着去做一個Graphical Model——我的導師指出，這樣的做法只是重複一些標準的流程，並沒有很大的價值。經過很長時間的反覆，另外一個路徑慢慢被確立下來——我們相信，一個圖像是通過大量“原子”的某種空間分佈構成的，原子羣的運動形成了動態的可視過程。微觀意義下的單個原子運動，和宏觀意義下的整體分佈的變換存在着深刻的聯繫——這需要我們去發掘。
在深入探索這個題目的過程中，遇到了很多很多的問題，如何描述一個一般的運動過程，如何建立一個穩定並且廣泛適用的原子表達，如何刻畫微觀運動和宏觀分佈變換的聯繫，還有很多。在這個過程中，我發現了兩個事情：
我原有的數學基礎已經遠遠不能適應我對這些問題的深入研究。
在數學中，有很多思想和工具，是非常適合解決這些問題的，只是沒有被很多的應用科學的研究者重視。
於是，我決心開始深入數學這個浩瀚大海，希望在我再次走出來的時候，我已經有了更強大的武器去面對這些問題的挑戰。
我的遊歷並沒有結束，我的視野相比於這個博大精深的世界的依舊顯得非常狹窄。在這裏，我只是說說，在我的眼中，數學如何一步步從初級向高級發展，更高級別的數學對於具體應用究竟有何好處。
集合論：現代數學的共同基礎
現代數學有數不清的分支，但是，它們都有一個共同的基礎——集合論——因爲它，數學這個龐大的家族有個共同的語言。集合論中有一些最基本的概念：集合(set)，關係(relation)，函數(function)，等價 (equivalence)，是在其它數學分支的語言中幾乎必然存在的。對於這些簡單概念的理解，是進一步學些別的數學的基礎。我相信，理工科大學生對於這些都不會陌生。
不過，有一個很重要的東西就不見得那麼家喻戶曉了——那就是“選擇公理” (Axiom of Choice)。這個公理的意思是“任意的一羣非空集合，一定可以從每個集合中各拿出一個元素。”——似乎是顯然得不能再顯然的命題。不過，這個貌似平常的公理卻能演繹出一些比較奇怪的結論，比如巴拿赫-塔斯基分球定理——“一個球，能分成五個部分，對它們進行一系列剛性變換（平移旋轉）後，能組合成兩個一樣大小的球”。正因爲這些完全有悖常識的結論，導致數學界曾經在相當長時間裏對於是否接受它有着激烈爭論。現在，主流數學家對於它應該是基本接受的，因爲很多數學分支的重要定理都依賴於它。在我們後面要回說到的學科裏面，下面的定理依賴於選擇公理：
拓撲學：Baire Category Theorem
實分析（測度理論）：Lebesgue 不可測集的存在性
泛函分析四個主要定理：Hahn-Banach Extension Theorem, Banach-Steinhaus Theorem (Uniform boundedness principle), Open Mapping Theorem, Closed Graph Theorem
在集合論的基礎上，現代數學有兩大家族：分析(Analysis)和代數(Algebra)。至於其它的，比如幾何和概率論，在古典數學時代，它們是和代數並列的，但是它們的現代版本則基本是建立在分析或者代數的基礎上，因此從現代意義說，它們和分析與代數並不是平行的關係。
分析：在極限基礎上建立的宏偉大廈
微積分：分析的古典時代——從牛頓到柯西
先說說分析(Analysis)吧，它是從微積分(Caculus)發展起來的——這也是有些微積分教材名字叫“數學分析”的原因。不過，分析的範疇遠不只是這些，我們在大學一年級學習的微積分只能算是對古典分析的入門。分析研究的對象很多，包括導數(derivatives)，積分(integral)，微分方程(differential equation)，還有級數(infinite series)——這些基本的概念，在初等的微積分裏面都有介紹。如果說有一個思想貫穿其中，那就是極限——這是整個分析（不僅僅是微積分）的靈魂。
一個很多人都聽說過的故事，就是牛頓(Newton)和萊布尼茨 (Leibniz)關於微積分發明權的爭論。事實上，在他們的時代，很多微積分的工具開始運用在科學和工程之中，但是，微積分的基礎並沒有真正建立。那個長時間一直解釋不清楚的“無窮小量”的幽靈，困擾了數學界一百多年的時間——這就是“第二次數學危機”。直到柯西用數列極限的觀點重新建立了微積分的基本概念，這門學科纔開始有了一個比較堅實的基礎。直到今天，整個分析的大廈還是建立在極限的基石之上。
柯西(Cauchy)爲分析的發展提供了一種嚴密的語言，但是他並沒有解決微積分的全部問題。在19世紀的時候，分析的世界仍然有着一些揮之不去的烏雲。而其中最重要的一個沒有解決的是“函數是否可積的問題”。我們在現在的微積分課本中學到的那種通過“無限分割區間，取矩陣面積和的極限”的積分，是大約在1850年由黎曼(Riemann)提出的，叫做黎曼積分。但是，什麼函數存在黎曼積分呢（黎曼可積）？數學家們很早就證明了，定義在閉區間內的連續函數是黎曼可積的。可是，這樣的結果並不令人滿意，工程師們需要對分段連續函數的函數積分。
實分析：在實數理論和測度理論上建立起現代分析
在19世紀中後期，不連續函數的可積性問題一直是分析的重要課題。對於定義在閉區間上的黎曼積分的研究發現，可積性的關鍵在於“不連續的點足夠少”。只有有限處不連續的函數是可積的，可是很多有數學家們構造出很多在無限處不連續的可積函數。顯然，在衡量點集大小的時候，有限和無限並不是一種合適的標準。在探討“點集大小”這個問題的過程中，數學家發現實數軸——這個他們曾經以爲已經充分理解的東西——有着許多他們沒有想到的特性。在極限思想的支持下，實數理論在這個時候被建立起來，它的標誌是對實數完備性進行刻畫的幾條等價的定理（確界定理，區間套定理，柯西收斂定理，Bolzano-Weierstrass
Theorem和Heine-Borel Theorem等）——這些定理明確表達出實數和有理數的根本區別：完備性（很不嚴格的說，就是對極限運算封閉）。隨着對實數認識的深入，如何測量“點集大小”的問題也取得了突破，勒貝格創造性地把關於集合的代數，和Outer content（就是“外測度”的一個雛形）的概念結合起來，建立了測度理論(Measure Theory)，並且進一步建立了以測度爲基礎的積分——勒貝格(Lebesgue
Integral)。在這個新的積分概念的支持下，可積性問題變得一目瞭然。
上面說到的實數理論，測度理論和勒貝格積分，構成了我們現在稱爲實分析 (Real Analysis)的數學分支，有些書也叫實變函數論。對於應用科學來說，實分析似乎沒有古典微積分那麼“實用”——很難直接基於它得到什麼算法。而且，它要解決的某些“難題”——比如處處不連續的函數，或者處處連續而處處不可微的函數——在工程師的眼中，並不現實。但是，我認爲，它並不是一種純數學概念遊戲，它的現實意義在於爲許多現代的應用數學分支提供堅實的基礎。下面，我僅僅列舉幾條它的用處：
黎曼可積的函數空間不是完備的，但是勒貝格可積的函數空間是完備的。簡單的說，一個黎曼可積的函數列收斂到的那個函數不一定是黎曼可積的，但是勒貝格可積的函數列必定收斂到一個勒貝格可積的函數。在泛函分析，還有逼近理論中，經常需要討論“函數的極限”，或者“函數的級數”，如果用黎曼積分的概念，這種討論幾乎不可想像。我們有時看一些paper中提到Lp函數空間，就是基於勒貝格積分。
勒貝格積分是傅立葉變換（這東西在工程中到處都是）的基礎。很多關於信號處理的初等教材，可能繞過了勒貝格積分，直接講點面對實用的東西而不談它的數學基礎，但是，對於深層次的研究問題——特別是希望在理論中能做一些工作——這並不是總能繞過去。
在下面，我們還會看到，測度理論是現代概率論的基礎。
拓撲學：分析從實數軸推廣到一般空間——現代分析的抽象基礎
隨着實數理論的建立，大家開始把極限和連續推廣到更一般的地方的分析。事實上，很多基於實數的概念和定理並不是實數特有的。很多特性可以抽象出來，推廣到更一般的空間裏面。對於實數軸的推廣，促成了點集拓撲學(Point- set Topology)的建立。很多原來只存在於實數中的概念，被提取出來，進行一般性的討論。在拓撲學裏面，有4個C構成了它的核心：
Closed set（閉集合）。在現代的拓撲學的公理化體系中，開集和閉集是最基本的概念。一切從此引申。這兩個概念是開區間和閉區間的推廣，它們的根本地位，並不是一開始就被認識到的。經過相當長的時間，人們才認識到：開集的概念是連續性的基礎，而閉集對極限運算封閉——而極限正是分析的根基。
Continuous function （連續函數）。連續函數在微積分裏面有個用epsilon-delta語言給出的定義，在拓撲學中它的定義是“開集的原像是開集的函數”。第二個定義和第一個是等價的，只是用更抽象的語言進行了改寫。我個人認爲，它的第三個（等價）定義才從根本上揭示連續函數的本質——“連續函數是保持極限運算的函數” ——比如y是數列x1, x2, x3, … 的極限， 那麼如果 f 是連續函數，那麼 f(y) 就是 f(x1), f(x2), f(x3), …的極限。連續函數的重要性，可以從別的分支學科中進行類比。比如羣論中，基礎的運算是“乘法”，對於羣，最重要的映射叫“同態映射”——保持“乘法”的映射。在分析中，基礎運算是“極限”，因此連續函數在分析中的地位，和同態映射在代數中的地位是相當的。
Connected set （連通集合）。比它略爲窄一點的概念叫(Path connected)，就是集合中任意兩點都存在連續路徑相連——可能是一般人理解的概念。一般意義下的連通概念稍微抽象一些。在我看來，連通性有兩個重要的用場：一個是用於證明一般的中值定理(Intermediate Value Theorem)，還有就是代數拓撲，拓撲羣論和李羣論中討論根本羣(Fundamental Group)的階。
Compact set（緊集）。Compactness似乎在初等微積分裏面沒有專門出現，不過有幾條實數上的定理和它其實是有關係的。比如，“有界數列必然存在收斂子列”——用compactness的語言來說就是——“實數空間中有界閉集是緊的”。它在拓撲學中的一般定義是一個聽上去比較抽象的東西——“緊集的任意開覆蓋存在有限子覆蓋”。這個定義在討論拓撲學的定理時很方便，它在很多時候能幫助實現從無限到有限的轉換。對於分析來說，用得更多的是它的另一種形式 ——“緊集中的數列必存在收斂子列”——它體現了分析中最重要的“極限”。Compactness在現代分析中運用極廣，無法盡述。微積分中的兩個重要定理：極值定理(Extreme
Value Theory)，和一致收斂定理(Uniform Convergence Theorem)就可以藉助它推廣到一般的形式。
從某種意義上說，點集拓撲學可以看成是關於“極限”的一般理論，它抽象於實數理論，它的概念成爲幾乎所有現代分析學科的通用語言，也是整個現代分析的根基所在。
微分幾何：流形上的分析——在拓撲空間上引入微分結構
拓撲學把極限的概念推廣到一般的拓撲空間，但這不是故事的結束，而僅僅是開始。在微積分裏面，極限之後我們有微分，求導，積分。這些東西也可以推廣到拓撲空間，在拓撲學的基礎上建立起來——這就是微分幾何。從教學上說，微分幾何的教材，有兩種不同的類型，一種是建立在古典微機分的基礎上的“古典微分幾何”，主要是關於二維和三維空間中的一些幾何量的計算，比如曲率。還有一種是建立在現代拓撲學的基礎上，這裏姑且稱爲“現代微分幾何”——它的核心概念就是“流形”(manifold)——就是在拓撲空間的基礎上加了一套可以進行微分運算的結構。現代微分幾何是一門非常豐富的學科。比如一般流形上的微分的定義就比傳統的微分豐富，我自己就見過三種從不同角度給出的等價定義——這一方面讓事情變得複雜一些，但是另外一個方面它給了同一個概念的不同理解，往往在解決問題時會引出不同的思路。除了推廣微積分的概念以外，還引入了很多新概念：tangent
space, cotangent space, push forward, pull back, fibre bundle, flow, immersion, submersion 等等。
近些年，流形在machine learning似乎相當時髦。但是，坦率地說，要弄懂一些基本的流形算法，甚至“創造”一些流形算法，並不需要多少微分幾何的基礎。對我的研究來說，微分幾何最重要的應用就是建立在它之上的另外一個分支：李羣和李代數——這是數學中兩大家族分析和代數的一個漂亮的聯姻。分析和代數的另外一處重要的結合則是泛函分析，以及在其基礎上的調和分析。
代數：一個抽象的世界
關於抽象代數
回過頭來，再說說另一個大家族——代數。
如果說古典微積分是分析的入門，那麼現代代數的入門點則是兩個部分：線性代數(linear algebra)和基礎的抽象代數(abstract algebra)——據說國內一些教材稱之爲近世代數。
代數——名稱上研究的似乎是數，在我看來，主要研究的是運算規則。一門代數，其實都是從某種具體的運算體系中抽象出一些基本規則，建立一個公理體系，然後在這基礎上進行研究。一個集合再加上一套運算規則，就構成一個代數結構。在主要的代數結構中，最簡單的是羣(Group)——它只有一種符合結合率的可逆運算，通常叫“乘法”。如果，這種運算也符合交換率，那麼就叫阿貝爾羣 (Abelian Group)。如果有兩種運算，一種叫加法，滿足交換率和結合率，一種叫乘法，滿足結合率，它們之間滿足分配率，這種豐富一點的結構叫做環(Ring)，如果環上的乘法滿足交換率，就叫可交換環(Commutative Ring)。如果，一個環的加法和乘法具有了所有的良好性質，那麼就成爲一個域(Field)。基於域，我們可以建立一種新的結構，能進行加法和數乘，就構成了線性代數(Linear algebra)。
代數的好處在於，它只關心運算規則的演繹，而不管參與運算的對象。只要定義恰當，完全可以讓一隻貓乘一隻狗得到一頭豬:-)。基於抽象運算規則得到的所有定理完全可以運用於上面說的貓狗乘法。當然，在實際運用中，我們還是希望用它乾點有意義的事情。學過抽象代數的都知道，基於幾條最簡單的規則，比如結合律，就能導出非常多的重要結論——這些結論可以應用到一切滿足這些簡單規則的地方——這是代數的威力所在，我們不再需要爲每一個具體領域重新建立這麼多的定理。
抽象代數有在一些基礎定理的基礎上，進一步的研究往往分爲兩個流派：研究有限的離散代數結構（比如有限羣和有限域），這部分內容通常用於數論，編碼，和整數方程這些地方；另外一個流派是研究連續的代數結構，通常和拓撲與分析聯繫在一起（比如拓撲羣，李羣）。我在學習中的focus主要是後者。
線性代數：“線性”的基礎地位
對於做Learning, vision, optimization或者statistics的人來說，接觸最多的莫過於線性代數——這也是我們在大學低年級就開始學習的。線性代數，包括建立在它基礎上的各種學科，最核心的兩個概念是向量空間和線性變換。線性變換在線性代數中的地位，和連續函數在分析中的地位，或者同態映射在羣論中的地位是一樣的 ——它是保持基礎運算（加法和數乘）的映射。
在learning中有這樣的一種傾向——鄙視線性算法，標榜非線性。也許在很多場合下面，我們需要非線性來描述複雜的現實世界，但是無論什麼時候，線性都是具有根本地位的。沒有線性的基礎，就不可能存在所謂的非線性推廣。我們常用的非線性化的方法包括流形和kernelization，這兩者都需要在某個階段迴歸線性。流形需要在每個局部建立和線性空間的映射，通過把許多局部線性空間連接起來形成非線性；而kernerlization則是通過置換內積結構把原線性空間“非線性”地映射到另外一個線性空間，再進行線性空間中所能進行的操作。而在分析領域，線性的運算更是無處不在，微分，積分，傅立葉變換，拉普拉斯變換，還有統計中的均值，通通都是線性的。
泛函分析：從有限維向無限維邁進
在大學中學習的線性代數，它的簡單主要因爲它是在有限維空間進行的，因爲有限，我們無須藉助於太多的分析手段。但是，有限維空間並不能有效地表達我們的世界——最重要的，函數構成了線性空間，可是它是無限維的。對函數進行的最重要的運算都在無限維空間進行，比如傅立葉變換和小波分析。這表明了，爲了研究函數（或者說連續信號），我們需要打破有限維空間的束縛，走入無限維的函數空間——這裏面的第一步，就是泛函分析。
泛函分析(Functional Analysis)是研究的是一般的線性空間，包括有限維和無限維，但是很多東西在有限維下顯得很trivial，真正的困難往往在無限維的時候出現。在泛函分析中，空間中的元素還是叫向量，但是線性變換通常會叫作“算子”(operator)。除了加法和數乘，這裏進一步加入了一些運算，比如加入範數去表達“向量的長度”或者“元素的距離”，這樣的空間叫做“賦範線性空間”(normed space)，再進一步的，可以加入內積運算，這樣的空間叫“內積空間”(Inner product space)。
大家發現，當進入無限維的時間時，很多老的觀念不再適用了，一切都需要重新審視。
所有的有限維空間都是完備的（柯西序列收斂），很多無限維空間卻是不完備的（比如閉區間上的連續函數）。在這裏，完備的空間有特殊的名稱：完備的賦範空間叫巴拿赫空間(Banach space)，完備的內積空間叫希爾伯特空間(Hilbert
space)。
在有限維空間中空間和它的對偶空間的是完全同構的，而在無限維空間中，它們存在微妙的差別。
在有限維空間中，所有線性變換（矩陣）都是有界變換，而在無限維，很多算子是無界的(unbounded)，最重要的一個例子是給函數求導。
在有限維空間中，一切有界閉集都是緊的，比如單位球。而在所有的無限維空間中，單位球都不是緊的——也就是說，可以在單位球內撒入無限個點，而不出現一個極限點。
在有限維空間中，線性變換（矩陣）的譜相當於全部的特徵值，在無限維空間中，算子的譜的結構比這個複雜得多，除了特徵值組成的點譜(point spectrum)，還有approximate point spectrum和residual spectrum。雖然複雜，但是，也更爲有趣。由此形成了一個相當豐富的分支——算子譜論(Spectrum theory)。
在有限維空間中，任何一點對任何一個子空間總存在投影，而在無限維空間中，這就不一定了，具有這種良好特性的子空間有個專門的名稱切比雪夫空間(Chebyshev space)。這個概念是現代逼近理論的基礎(approximation theory)。函數空間的逼近理論在Learning中應該有着非常重要的作用，但是現在看到的運用現代逼近理論的文章並不多。
繼續往前：巴拿赫代數，調和分析，和李代數
基本的泛函分析繼續往前走，有兩個重要的方向。第一個是巴拿赫代數 (Banach Algebra)，它就是在巴拿赫空間（完備的內積空間）的基礎上引入乘法（這不同於數乘）。比如矩陣——它除了加法和數乘，還能做乘法——這就構成了一個巴拿赫代數。除此以外，值域完備的有界算子，平方可積函數，都能構成巴拿赫代數。巴拿赫代數是泛函分析的抽象，很多對於有界算子導出的結論，還有算子譜論中的許多定理，它們不僅僅對算子適用，它們其實可以從一般的巴拿赫代數中得到，並且應用在算子以外的地方。巴拿赫代數讓你站在更高的高度看待泛函分析中的結論，但是，我對它在實際問題中能比泛函分析能多帶來什麼東西還有待思考。
最能把泛函分析和實際問題在一起的另一個重要方向是調和分析 (Harmonic Analysis)。我在這裏列舉它的兩個個子領域，傅立葉分析和小波分析，我想這已經能說明它的實際價值。它研究的最核心的問題就是怎麼用基函數去逼近和構造一個函數。它研究的是函數空間的問題，不可避免的必須以泛函分析爲基礎。除了傅立葉和小波，調和分析還研究一些很有用的函數空間，比如Hardy space，Sobolev space，這些空間有很多很好的性質，在工程中和物理學中都有很重要的應用。對於vision來說，調和分析在信號的表達，圖像的構造，都是非常有用的工具。
當分析和線性代數走在一起，產生了泛函分析和調和分析；當分析和羣論走在一起，我們就有了李羣(Lie Group)和李代數(Lie Algebra)。它們給連續羣上的元素賦予了代數結構。我一直認爲這是一門非常漂亮的數學：在一個體系中，拓撲，微分和代數走到了一起。在一定條件下，通過李羣和李代數的聯繫，它讓幾何變換的結合變成了線性運算，讓子羣化爲線性子空間，這樣就爲Learning中許多重要的模型和算法的引入到對幾何運動的建模創造了必要的條件。因此，我們相信李羣和李代數對於vision有着重要意義，只不過學習它的道路可能會很艱辛，在它之前需要學習很多別的數學。
現代概率論：在現代分析基礎上再生
最後，再簡單說說很多Learning的研究者特別關心的數學分支：概率論。自從Kolmogorov在上世紀30年代把測度引入概率論以來，測度理論就成爲現代概率論的基礎。在這裏，概率定義爲測度，隨機變量定義爲可測函數，條件隨機變量定義爲可測函數在某個函數空間的投影，均值則是可測函數對於概率測度的積分。值得注意的是，很多的現代觀點，開始以泛函分析的思路看待概率論的基礎概念，隨機變量構成了一個向量空間，而帶符號概率測度則構成了它的對偶空間，其中一方施加於對方就形成均值。角度雖然不一樣，不過這兩種方式殊途同歸，形成的基礎是等價的。
在現代概率論的基礎上，許多傳統的分支得到了極大豐富，最有代表性的包括鞅論 (Martingale)——由研究賭博引發的理論，現在主要用於金融（這裏可以看出賭博和金融的理論聯繫，:-P），布朗運動(Brownian Motion)——連續隨機過程的基礎，以及在此基礎上建立的隨機分析(Stochastic Calculus)，包括隨機積分（對隨機過程的路徑進行積分，其中比較有代表性的叫伊藤積分(Ito Integral)），和隨機微分方程。對於連續幾何運用建立概率模型以及對分佈的變換的研究離不開這些方面的知識。
數學家石根華的41年傳奇
20世紀70年代，石根華在甘肅的碧口山裏參加白龍江水電工程建設。
“今天是2009年2月18日，我是在1968年2月18日早晨8點離開北京大學的，現在正好41年，一天不差。我從北京大學數學系畢業，在甘肅的碧口山裏參加白龍江水電工程建設，一呆就是10年。一個學數學和拓撲的人直接參與到工程中去，當然有許多背景。”
2月18日，應數學家林羣院士邀請，石根華到中國科學院數學與系統科學研究院計算數學研究所作演講，並接受《科學時報》採訪。林羣說：“他的一生充滿傳奇色彩。”這是一位數學家41年的工程師經歷。
“我相信數學是有用的”
石根華在中學時代就喜歡數學，但並不知道數學有什麼用。
1963年，他從北京大學數學系畢業，考入該系研究生。在學校的分配下，他師從江澤涵教授，主攻代數拓撲學和不動點理論，在《數學學報》上發表了《最少不動點和尼爾生數》與《恆同映射類的最少不動點數》論文，被國際同行稱爲“石氏類型空間”和“石根華條件”。20世紀60年代出版的美國《數學評論》就介紹了“姜（伯駒）—石學派”，在當時的中國數學界引起轟動。
讀研究生時，江澤涵曾希望他能留校任助教。然而，“文化大革命”開始後，學校停了課，並提倡應用。石根華參與了海邊尋找淡水項目中的數學計算，這激起了他對數學應用的興趣。研究生畢業時，他被分配到水電部。當時，水電部人事工作的負責人告訴他，他可以到水電部的高等院校和研究所去作研究，但石根華表示自己很想作應用，並自願申請到工地。
1968年5月，石根華從水電部西北設計院來到了甘肅省白龍江，參加碧口水電站工程的建設。談到當初的選擇，他說：“這是因爲‘文革’時期，如果不做工程，我就只有‘上山下鄉’了。在北大時，我就接觸了很多工程方面的研究。所以，還是做工程好一點，因爲我相信數學是有用的。”
當他穿着工作服、幫一位工程師挑着扁擔來到工地時，大家以爲他是搬運工。他說：“當時我不認識周圍的人，地方也是完全陌生的——在深山裏，兩邊陡壁夾着山溝，山上開着油菜花，連工作也完全不熟悉。但我感到，到了工地好輕鬆啊，北大的競爭壓力太大了。所以，雖然我的工作是打眼放炮，揹着那麼重的炸藥過吊橋，但我並不覺得可怕，反而覺得北大的那種競爭是可怕的，就是在那個時候我下決心重新開始。”
石根華說，當年，建造白龍江水電站的目的是爲我國的原子彈研究提供最可靠的電源。電站不大，但很重要，無論地理地質條件如何，都必須在這裏建。“那裏的岩石軟到什麼程度呢？拿手一抓，岩石會像餅乾一樣碎掉了。隊伍進去了，大家說，算了，這種岩石，我們誰也回不去了。”
讓當初的他沒有想到的是，他在碧口電站一干就是10年，並在這裏成爲岩石力學專家。
數學理論給出的結果
是對生命的保證
在山裏建水電站，首先要挖隧道，塌方問題是開挖隧道前需要解決的最關鍵問題。在碧口這種地質條件下，這個工程是否可行呢？當時，白龍江水電工程召集了各方面最好的專家，也請來了身經百戰、最有經驗的隧道工人，包括從煤礦上請來的8級安全工。
“專家開始比較小心，沒有論證，他們不能說任何話。”石根華說，“於是，工人們上。工人們怎麼說呢？‘就這麼破的岩石，我拿電鏟一鏟就剷出來了，開什麼隧道啊？’這是最有經驗的隧道工人說的話。這就沒法挖隧道了。但是，從其他角度看，還是應該挖這個隧道的。那麼，可行性到底由誰來做呢？”
一位來自上海的勘探隊隧道工長想了一個辦法，解決了這個問題，白龍江工程建設的序幕就此拉開了。
“這位工長是我的朋友，現在我閉上眼睛還能想起他的形象。我對他非常崇拜，我覺得這種人能真正解決問題。問題是怎麼解決的？是靠思考和實踐。在實踐面前，不是誰受的教育最多、學位最高就能解決問題。解決問題的正確方法是老老實實根據實踐來做。”
剛到白龍江水電工程之初，石根華從打眼放炮的工作開始幹起，“我自己動手或者是帶領工人開炮打洞都很成功，因爲開炮打洞等實際上都是幾何問題，我有數學知識，算得很準、佈置得很準、打得也很準，所以很快就當了工長。”
除此之外，他在白龍江工程中還做了地下廠房的計算。在廠房的計算中，他接觸到了結構力學。“我從頭學起，作爲一名數學家，學習方法就是與別人交換。我周圍都是清華大學學工科的人，我給他們做計算，他們教我工程——他們必須把工程給我講懂，我才能把計算做好，所以，大家都用最簡潔的方法教我工程，我很快就學得很好，然後就開始做計算，有時一個下午要做3個計算。”
他最初在工地上做的都是彈性力學，沒有想到做岩石力學，一件意外的悲劇改變了他。“我有個朋友，當時大學生到碧口工地上鍛鍊的就我們兩人。我是學拓撲學的，知道岩石的分類。但我不肯作岩石力學的研究。當時，我想，世界沒有岩石力學，做它幹什麼？然而，一天早晨，我和這位朋友推着小車，結果不到兩個小時，他就被岩石砸到，死在我面前，而我活下來了。回來以後，我感覺這樣不行，所以從這時候開始我才下決心作岩石塊體研究。”
他介紹，岩石塊體分爲兩類：關鍵塊體和一般塊體。關鍵塊體就是不用其他塊體阻礙，自己能塌下來、掉下來的塊體，“這是最危險的塊體，第一批岩石掉下來後，其他岩石就會一批批地掉下來。數學上可以證明，這種塌方是可以利用計算算出關鍵塊體的。這就不是幾何問題，而是拓撲學的問題，而且還有許多統計學在裏面”。
在白龍江水電工程中，一個難題擺在了衆人面前：地下工程開挖需要在岩石中挖一個80米深的高壓井，這個高壓井會不會塌方？當時，負責此項工作的領導與設計人員之間出現了激烈的爭論。那位領導說：“完了，設計人員給我們畫的這個東西我們開不出來。”這時，有人向他推薦了石根華。
“在沒有辦法的時候，我被調來做調壓井。做的時候用數學解決了一個問題。開始時，將房子切成塊體。塊體是什麼？就是一個平面一刀切下去，是一個不等方程，另一刀切下去，也是這個方程，一個塊體就是幾個不等式方程的解，再將不等式方程轉化爲球面幾何，這樣就開始進入了正統的數學。你必須證明並找出每個關鍵塊體。”
他用拓撲學理論計算出了工程中的關鍵塊體，找準了調壓井的開挖部位，調壓井成功了，沒有出現傷亡。“我利用現代數學有限元的方法，將無限個關鍵塊體分爲有限類，同一類中有可加性，其中有一個最大，我在數學上把最大的求出來，就可以了。但做這個東西時，真是感到驚心動魄。這時的數學理論給出的結果是對生命的保證，越嚴格越有保證；不嚴格，錯了，就是生命的喪失！”
在白龍江水電工程中，石根華首創了巖體穩定性分析的全空間赤平投影和塊本分析方法，並在工程中得到應用。1978年，他在《中國科學》的中英文版上分別發表了《巖體穩定性分析的赤平投影方法》和《非連續巖體穩定性分析的幾何方法》。
2007年7月，國際岩石力學會50年會議在葡萄牙召開，會議的圖標就是石根華在《中國科學》上發表的這篇文章的圖。石根華說：“現在，關鍵塊體是國際岩石力學的一門必修課程，這是從白龍江水電工程開始的。”
調壓井的成功讓石根華成爲英雄式的人物。1979年，他被水電部調回北京水科院水利水電科學院。他借用朋友的詩句表達心情：“十年一電站，畢生能幾何？”
“學習是一種進步”
1980年4月，石根華公派出國，參加美國數學會年會。在這個會上，他感到了一種巨大的壓力。
“雖然我在國內工程學界很活躍，但在國際學術界，我發現自己沒有地位；再回去後我不會相信自己是最好的。於是，我想在美國幹5年。誰知最後一干就是20年。”他承受了出國不歸的內疚和壓力。
當時，許多美國的數學教授鼓勵石根華重新做數學，但他還是願意做工程。在加州大學伯克利分校做了一段時間工程師後，他師從世界岩石力學鼻祖Goodman教授。1988年，他獲得了岩石力學岩石工程的博士學位。他說：“我低下頭，放下專家的身份，重新成爲學生。工程師需要謙虛，需要向別人學習。學習是一種進步，也是一種享受。”
在伯克利分校的土木系和勞倫斯國家實驗室，他進行了岩石力學數值分析的理論和方法研究，先後創立了塊體理論（Block Theory）和非連續變形分析方法（DDA，Discontinuous Deformation Analysis）。DDA用模擬巖體非連續變形行爲的全新數值方法，抓住了巖體變形的非連續和大變形這兩個物理本質。隨後，他提出並在理論上證明了“數值流形”概念及其可行性，完成了被譽爲“21世紀的新一代方法”的“數值流形方法”系統研究。
但是，這個理論的建立卻經歷了太多的磨鍊。
在研究中，他們逐步形成了Goodman學派。“我們是岩石力學的工程立體學派，完全按地質的東西來進行計算。”Goodman學派馳騁國際學術界。石根華應邀到日本、瑞典、南美洲國家以及我國臺灣地區等地演講或合作。“我們當時太‘跋扈’了！麻省理工學院的教授到我們這裏講學，也怕我問問題。我一提問就可能讓他下不來臺，因爲數學在我手裏已經成爲了武器。他首先要將我吹捧一通，然後才能上課。後來，由於我們沒有自知自明，也不知道什麼是自由、開放，這給我們帶來了麻煩。”
在關鍵塊體的研究中，他們遇到的一個最大問題是所謂的“開閉疊代的收斂”。他說：“在數學上這是非線性規劃的問題，怎麼解這麼大的非線性規劃？Goodman教授從1968年就開始解這個問題，他的幾批法國學生都解不了。我去時，他已經放棄了。後來，別的教授對我說，‘你做有限元吧，你的功夫太好了，一定會成爲非常出色的人’。”
然而，石根華在這個開閉疊代問題上做了6年也不行：“我知道這是不連續的大門，我敲不開這扇大門。”
從1983年到1989年，他的自信心跌到了零，“因爲我覺得我的數學水平、我的資歷是做不出這個問題的……我幹了6年，到最後，沒辦法了，我用一臺惠普計算機來算。出去玩了3天后，回來看這個疊代計算還在進行，我就知道不行了。我的經費是美國能源部支持的，我得老老實實告訴大家，我沒有做出來。做疊代是不行了，我又回過頭來再做塊體理論。”
但在隱隱約約的情況下，他感覺自己不屬於一個數學家，而是一名工程師，“從一名工程師的角度看，爲什麼計算不穩定而實際是穩定的呢？這個凳子放在這裏，你撞它一下，它是穩定的？我在整個計算中把什麼東西忽略掉了？是摩擦力嗎？摩擦力不是問題，那是什麼？是慣性！如果沒有慣性，每個人都會撞到其他人。我們的計算就是沒有慣性！”
慣性控制不是石根華首先發現的，是計算大師Desi發現的，但石根華髮現這個計算中最關鍵的問題是在一個積分上。他將程序寫出來，重新在計算機上算，終於發現，在這些方程中，每一塊的疊代都過去了，直至600塊、2000塊。然而，他無法證明這個理論。後來，他才知道，這是個活動方程，如果只有一個開閉疊代點的話，肯定是收斂的，如果是兩個的話，短時間內是獨立的。
用了十多年時間，石根華終於算出開閉疊代是收斂的，卻給他們的學派帶來了災難：“不連續的大門打開了。資本主義社會是個競爭時代，他們的學派影響了別的學派的利益。於是，Goodman教授不到退休年齡被強迫退休，我們的學派被解散了。”
Goodman教授對他說：“我走了，你也走吧!”
東山再起時
他們幾個人進山隱居了。
石根華說：“Goodman教授到北加州一個海岸，那是一個畫家與音樂家集中的地方，我搬到了內華達沙漠邊緣的草原上，這是北美最大的高山草原。從此以後，學派消失了，我們無影無蹤了。”
然而，在消失的這段時間裏，他們的研究並沒有消失。
石根華在山裏買了80英畝地，住在一個大房子裏，開始在數學上證明開閉疊代的理論，並作三維的開閉疊代研究。
幾年後，他對美國壩基用基本程序進行了修改，將最現代化的概念整合進去，讓這個程序非常好用。美國內務部墾務局用這個程序對西部開發局的主要壩基穩定情況進行了檢查，但檢查後感到不保險，找到Goodman教授做顧問審查，但沒有告訴他程序是誰寫的。
“我們彼此一直沒有聯繫，後來Goodman教授一直追問這個程序，憑感覺認爲這一定是我做的。他估計我的三維開閉疊代研究已經很厲害了，他知道我是不會停的。”石根華說，“多年以後，他開了8個小時車，從海邊來到沙漠，找到我家。我給他看了我的東西，他喫驚地看到，現在我們走了這麼遠。他知道我們的學派不僅存在，而且要贏了。”
老朋友會面讓石根華十分高興，他爲這次會面寫下詩句：“風雪夜，故人驚喜，希爾納東山再起。”他說，“希爾納在舊金山的東面，是東山。東山再起時，我們都是滿臉憔悴。我們老了，穿着農民的衣服，當年的盛氣凌人、不可一世、持才自傲的態度沒有了，但我們有力量。我們從此希望與別的學派和好，從此希望給社會做一些好東西。”
石根華在美國作科學研究取得了重要成果，卻錯過國內水電事業快速發展的時期。
1999年，他回到北京，見到了時任水電部部長的錢正英。2002年，長江科學研究院成立國內首家非連續變形實驗室，聘請石根華爲首席科學家。從此，他每年都回國講學，對水電工程滑坡災害的評價、預測及防治關鍵技術進行研究，用DDA方法進行滑坡啓動到停止的運動全過程的數據模擬，驗證了其動力學計算精度。
2004年，石根華來到位於甘肅省青海的拉西瓦水電站建設工地。他很高興地說：“經過這麼多年的修煉，我又回到了工程。我爬上海拔2200多米的高山，在開始的1個小時裏，我第一次感到腳軟，1個小時後，我逐漸恢復了本能，腳不軟了，可以行動自如了。這麼多年的深山生活沒有將我拉得太遠。我在業務上、精神上和身體上都追上了中國飛速發展的工程。”
2005年11月，總投資約240億元的錦屏一級水電站在四川省涼山彝族自治州木裏藏族自治縣和鹽源縣境正式開工建設，這裏將建成年均發電量166.2億千瓦時、305米高的拱壩，爲世界第一高壩。
石根華說：“中國的水電工程都是驚天動地的。在最典型、最危險也是最震撼人心的工程中，錦屏算一個。這個工程比我當年參與的工程大得多。”石根華參與了錦屏工程的岩石力學計算。
回顧自己41年的工程師經歷，石根華感慨萬千：“在這個世界上，主要是靠解決問題的力量，職務、學位、經歷等都不太管用。在出現問題時，能解決問題就成功了；失敗一次，可能就是永遠的失敗。成功靠什麼來保證？就是數學，在邏輯上靠數學，靠思維的嚴密，所有的東西，能夠用上的，要武裝到牙齒。”
“做一個真正的工程師，該有膽量時就要有膽量，甚至把自己的生命賭進去。但賭博不是工程師的性格，工程師是要求絕對可靠的，工程師不是賭徒，在任何情況下都要將所有的東西做好。”
他對中科院計算數學所的研究生們說：“從採礦、水庫大壩到地下隧道工程等，世界各國的工程師面臨太多的危險。在這些方面，數學是非常有用的，我們周圍的人都需要數學。我希望下一代的數學家們，特別是你們，站在計算數學與工程之間，最重要的是用發明出的一些數學方法和工具，寫出很好的教科書，把數學交給工程師，追上這個時代。”