最小二乘法，通常用在我們已知數學模型，但是不知道模型參數的情況下，通過實測數據，計算數學模型，例如，在題目中，數學模型就是直線方程y=ax+b，但是不知道直線方程的a和b。
本來呢，我們只需要兩組（xi,yi），就可以解得a和b，但是由於實測數據都存在誤差，所以，我們很容易想到一個辦法，我們測很多組數據來讓我的a和b更加準確。
“我們測很多組數據來讓我的a和b更加準確” ，那麼我從數學角度如何體現這句話呢？
比如在此例中，已知數學模型 y=ax+b
我們有很多組數據，那麼我們要找一條直線，使得我們測得的每個數據，到這條直線的偏離量的總和最小。（這句話有點拗口，慢慢理解下）
那麼怎麼用數學描述“偏離量總和最小”這個概念呢？
數學家運用了方差！
數學模型 y=ax+b
設F=ax+b-y
那麼對於模型上的點(注意是模型上的點，也就是理論值)，F=ax+b-y=0
但是對於實際值來說，F=axi+b-yi 一定不等於0。那麼我們就要找到一對a和b，使得F儘可能接近於0。
也就是說，“偏離量總和最小”這個概念，在數學上實際上就是要求F的方差最小。
即 Σ F^2→0 （F的平方和趨近於0）
即 Σ(axi+b-yi)^2→0
那麼我們得到一個方程f(a,b)=Σ(axi+b-yi)^2，我們要找到合適的a,b使得f(a,b)最小！
也就是說，我們要找到的實際上是f(a,b)的最小值點。（因爲方差不可能小於0）
因此我們需要求f(a,b)的極值點。我們藉助數學工具偏導。
如果有一組a,b使得
∂f(a,b)/∂a=0
∂f(a,b)/∂b=0
那麼f(a,b)就是極值點，如果a,b只有一對，那麼它就是最小值點。
即 ∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂a=0
∂( Σ(axi+b-yi)^2 )/∂b=0
化簡得到
a*Σxi^2 + b*Σxi = Σ(xi*yi)
a*Σxi + b*N = Σyi
其中N是(xi,yi)的個數。即我們測了多少組數據
解上面的二元方程，我們就可以得到唯一的一組a,b啦，這就是我們所需要的a和b
O(∩_∩)O~是不是蠻簡單的？
Matlab最基礎的程序如下：
%原始數據
X=[163 123 150 123 141];
Y=[186 126 172 125 148];
n=5; %一共5個變量
x2=sum(X.^2); % 求Σ(xi^2)
x1=sum(X); % 求Σ(xi)
x1y1=sum(X.*Y); % 求Σ(xi*yi)
y1=sum(Y); % 求Σ(yi)
a=(n*x1y1-x1*y1)/(n*x2-x1*x1); %解出直線斜率b=(y1-a*x1)/n
b=(y1-a*x1)/n; %解出直線截距
%作圖
% 先把原始數據點用藍色十字描出來
figure
plot(X,Y,'+');
hold on
% 用紅色繪製擬合出的直線
px=linspace(120,165,45);%這裏直線區間根據自己實際需求改寫
py=a*px+b;
plot(px,py,'r');
結果 a=1.5555 b=-66.365
