揹包問題（1） 0/1揹包、完全揹包

0/1揹包問題

假設有n件物品，他們的體積分別爲v[i]，價值分別爲w[i]，有一個容量爲m的揹包，如何選擇物品裝入揹包能夠的得到最大的價值。(物品種類不超過N個)

• 條件：每件物品至多隻能選擇1次
• 狀態定義：f [ i ]，表示揹包體積爲 i 時的最大價值
• 轉移方程：f [ i ] = max( f [i] , f [ i - v [ i ] ] + w [ i ] )

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
	//N的值根據題意設定
	const int N = 1000;
	int f[N], v[N], w[N], n ,m;
	cin >> n >> m;
	//循環輸入物品的體積和價值
	for(int i=0; i<=n; i ++)	
		cin >> v[i] >> w[i] ;
	//對於每件物品
	for(int i=1; i<=n; i++)
		//因爲要使用上一次計算的某個體積時的最大價值，所以從大到小遍歷，對於任何可能存在的體積情況，最大價值可能爲
		//1.上一次計算該體積時的最大價值
		//2.上一次計算該體積 - v[i]（剛好可以容納當前物品體積）時的最大價值加上當前物品的價值
		for(int j=m; j>=v[i]; j--)
			f[j] = max( f[j] , f[j - v[i]] + w[i] );
	//不用循環遍歷最後一步得到的f數組
	//1.因爲第二層尋循環每次都從f[m]開始，所以f[m]必存在
	//2.如果物品體積全部大於m，則f[m]=0
	//3.每次循環對於f[m]來說，都會找到可以加入物品i的合適體積，也就是說這個體積首先可以裝入物品i，其次還有
	//最大的剩餘體積，這些最大的剩餘體積的最大價值計算在循環的其他部分完成，並根據計算結果更新最大價值
	cout << f[m];
	return 0;
}	

完全揹包問題

假設有n件物品，他們的體積分別爲v[i]，價值分別爲w[i]，有一個容量爲m的揹包，如何選擇物品裝入揹包能夠的得到最大的價值。(物品種類不超過N個)

• 條件：每件物品至多能選擇無數次
• 狀態定義：f [ i ]，表示揹包體積爲 i 時的最大價值
• 轉移方程：f [ i ] = max( f [i] , f [ i - v [ i ] ] + w [ i ] )

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;

int main()
{
	//N的值根據題意設定
	const int N = 1000;
	int f[N], v[N], w[N], n ,m;
	cin >> n >> m;
	for(int i=0; i<=n; i ++)	
		cin >> v[i] >> w[i] ;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		//一個物品可以使用無數次，所以可以使用本次循環計算得到的小體積時的最大價值，從小到大遍歷，對於任何可能存在的體積情況，最大價值可能爲
		//1.上一次計算該體積時的最大價值
		//2.上一次計算該體積 - v[i]（剛好可以容納當前物品體積）時的最大價值加上當前物品的價值
		for(int j=v[i]; j<=m; j++)
			f[j] = max( f[j] , f[j - v[i]] + w[i] );
	cout << f[m];
	return 0;
}