語音識別MFCC系列（三）——離散餘弦變換DCT

原創

manmanxiaowugun

2020-06-13 20:36

都說DCT和離散傅里葉變換DFT其實是一樣的，那咱們就從DFT推出DCT吧。

如果信號是實數，那麼DFT的係數有實部，有虛部，是複共軛的，也就是說正頻率的係數是負頻率係數的共軛，原理參考前兩篇博客：

連續信號的請看語音識別MFCC系列（一）——連續信號、傅里葉變換

離散信號的請看語音識別MFCC系列（二）——離散信號、離散傅里葉變換

那麼DCT最後求得的係數只有實部，沒有虛部。

有一段點的信號 $\{ x [ 0 ] , \cdots , x [ N - 1 ] \}$ ，我們構建一個點的序列：

$x ^ { \prime } [ m ] \triangleq \left\{ \begin{array} { l l } { x [ m ] } & { ( 0 \leq m \leq N - 1 ) } \\ { x [ - m - 1 ] } & { ( - N \leq m \leq - 1 ) } \end{array} \right.$

這個點的序列 $x ^ { \prime } [ m ]$ 以爲週期，對成軸對稱：

$x ^ { \prime } [ m ] = x ^ { \prime } [ - m - 1 ] = x ^ { \prime } [ 2 N - m - 1 ]$

我們把 $x ^ { \prime } [ m ]$ 向右移，設定 $m ^ { \prime } = m + 1 / 2$ ，則 $x ^ { \prime } [ m ] = x ^ { \prime } \left[ m ^ { \prime } - 1 / 2 \right]$ 對 $m ^ { \prime } = 0$ 成軸對稱，下面我們簡要將其表示爲 $x\left [ m \right ]$ 。

最終形成的點的序列的DFT爲：

$\begin{align*}X [ n ] &= \frac { 1 } { \sqrt { 2 N } } \sum _ { m ^ { \prime } = - N + 1 / 2 } ^ { N - 1 / 2 } x \left[ m ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \right] e ^ { - j 2 \pi m ^ { \prime } n / 2 N }\\ &= \frac { 1 } { \sqrt { 2 N } } \sum _ { m ^ { \prime } = - N + 1 / 2 } ^ { N - 1 / 2 } x \left[ m ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \right] \cos \left( \frac { 2 \pi m ^ { \prime } n } { 2 N } \right) - \frac { j } { \sqrt { 2 N } } \sum _ { m ^ { \prime } = - N + 1 / 2 } ^ { N - 1 / 2 } x \left[ m ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \right] \sin \left( \frac { 2 \pi m ^ { \prime } n } { 2 N } \right)\end{align*}$

因爲 $x \left[ m ^ { \prime } - \frac{1}{2} \right]$ 爲偶函數， $\cos \left( 2 \pi m ^ { \prime } n / 2 N \right)$ 是偶函數， $\sin \left( 2 \pi m ^ { \prime } n / 2 N \right)$ 爲奇函數，則：

$\begin{align*}X [ n ] &=\frac { 1 } { \sqrt { 2 N } } \sum _ { m ^ { \prime } = - N + 1 / 2 } ^ { N - 1 / 2 } x \left[ m ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \right] \cos \left( \frac { 2 \pi m ^ { \prime } n } { 2 N } \right)\\ &=\sqrt { \frac { 2 } { N } } \sum _ { m ^ { \prime } = 1 / 2 } ^ { N - 1 / 2 } x \left[ m ^ { \prime } - \frac { 1 } { 2 } \right] \cos \left( \frac { 2 \pi m ^ { \prime } n } { 2 N } \right)\\ &=\sqrt { \frac { 2 } { N } } \sum _ { m = 0 } ^ { N - 1 } x [ m ] \cos \left( \frac { ( 2 m + 1 ) n \pi } { 2 N } \right) \quad ( n = 0 , \cdots , 2 N - 1 ) \end{align*}$

吶，最後一行就是DCT啦，其實DCT就是講原點的信號對稱延拓爲點的序列再做個DFT啦，最後的係數沒有虛部，都是實數。

參考網址http://fourier.eng.hmc.edu/e161/lectures/dct/node1.html

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