語音識別MFCC系列（二）——離散信號、離散傅里葉變換

看了很多傅里葉變換（連續信號和離散信號）的博客，都寫的不是很清楚，有些地方可能有誤，我在查閱了書籍和大量資料以後，爭取能用前後標註一致的公式把相關內容（帕斯瓦爾公式，能量信號，功率信號，能量譜，功率譜等）講清楚，說正確。最好先看連續信號再看離散信號哦

連續信號的請看語音識別MFCC系列（一）——連續信號、傅里葉變換

離散信號的請看語音識別MFCC系列（二）——離散信號、離散傅里葉變換

耐不住的話直接看第五部分也行。下面將講述：

不連續週期信號的傅里葉級數
不連續非週期信號的傅里葉變換
離散傅里葉變換

一、不連續週期信號的傅里葉級數（DFS）

對一個連續週期信號 $x\left ( t \right )$ 的一個週期進行點採樣，得到離散序列 $x\left ( n\right )$ ，則 $T _ { 0 } = N T_s$ ， $\omega _ { 0 } = 2 \pi / T _ { 0 } = 2 \pi / (NT_s )$ ，爲採樣週期，爲採樣頻率。

重現連續週期信號的傅里葉級數：

$x ( t ) = \sum _ { k = - \infty } ^ { \infty } X \left( k \omega _ { 0 } \right) e ^ { j k w _ { 0 } t }$

$X \left( k \omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { T _ { 0 } } \int _ { 0 } ^ { T _ { 0 } } x ( t ) e ^ { - j k w _ { 0 } t } d t \quad k = 0,1,2 , \cdots$

記 $\Omega _ { 0 } = \omega _ { 0 } T_s = 2 \pi / N$ 爲離散域的基本頻率，就是頻率分辨率啦，就是最小的頻率單元啦，各個頻率分量的頻率都是他的整數倍， $\Omega =k \Omega _ { 0 }$ 是次諧波的數字頻率（下面會有例子解釋哦）。因，則：

$X \left( k \frac { \Omega _ { 0 } } { T_s } \right) = \frac { 1 } { N T_s } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n T_s ) \mathrm { e } ^ { - j k \frac { Q _ { 0 } } { T }n T_s } = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n T_s ) \mathrm { e } ^ { - j k \Omega _ { 0 } n }$

在序列表示中，可僅用表示，用 $k \Omega _ { 0 }$ 表示 $k \frac { \Omega _ { 0 } } { T_s }$ ，則上式爲：

$X \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j k \Omega _ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1$

$x ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \frac { Q_ { 0 } } { T_s } nT_s}= \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }$

當週期信號從連續域變換到離散域以後，它的頻率 $\omega$ 從 $- \infty \sim + \infty$ 映射到數字頻率 $\Omega$ 從 $0 \sim 2 \pi$ 。離散信號被分爲個頻率分量，頻率分辨率爲 $2 \pi / N$ ，根據連續信號的傅里葉級數同理，離散信號的傅里葉級數也有複共軛的性質，即 $X \left( k \Omega _ { 0 } \right) =X^* \left( -k \Omega _ { 0 } \right)$ 。

二、離散信號的帕斯瓦爾公式

$\sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 }\left |x ( n ) \right |^2=\frac{1}{N} \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \left |X \left( k \Omega _ { 0 } \right) \right |^2$

推導就不寫了，就是用上面那些式子推出來的（猜測對於週期信號，上式代表的是功率，對於長度有限的離散信號，上式代表的是能量）。

三、不連續非週期信號的傅里葉變換（DTFT）

哎呀這裏和連續信號處理類似啦，所以連續信號一定要理解好哦！將長度有限的非週期信號 $x\left ( n\right )$ ，以爲週期，將 $x\left ( n\right )$ 延拓爲週期信號 $x _ { N } ( n )$ ，這裏要大於信號長度哦，那當 $N \rightarrow \infty$ 時， $\Omega _ { 0 } = 2 \pi / N \rightarrow \mathrm { d } \Omega , k \Omega _ { 0 } \rightarrow \Omega = \omega T_s$ 爲連續量， $\sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \rightarrow \int _ { 0 } ^ { 2 \pi }$ ， $\frac { 1 } { N } = \frac { \Omega _ { 0 } } { 2 \pi } \rightarrow \frac { d \Omega } { 2 \pi } , x _ { N } ( n ) \rightarrow x ( n )$ ，且這時 $X(k \Omega _ { 0 })$ 趨於0，則乘個，採用頻譜密度表示頻譜。

$X ( \Omega ) = \lim _ { N \rightarrow \infty } N X \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { n = \infty } x ( n ) e ^ { - j \Omega n }$

$x ( n ) = \lim _ { N \rightarrow \infty } x _ { N } ( n ) = \lim _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega_ { 0 } n }= \lim _ { N \rightarrow \infty } \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } \frac { 1 } { N } X ( \Omega ) \mathrm { e } ^ { \mathrm {j} \Omega n }=\frac{1}{2 \pi} \int _ { 0 } ^ { 2 \pi }X ( \Omega ) \mathrm { e } ^ { \mathrm {j} \Omega n }d \Omega$

四、離散傅里葉變換（DFT）

因DTFT在頻域是連續的，我們需要在時域和頻域都是離散的離散傅里葉變換，將長度有限的非週期信號 $x\left ( n\right )$ ， $x\left ( n\right )$ 長度爲，以爲週期，將 $x\left ( n\right )$ 延拓爲週期信號 $x _ { p } ( n )$ ，則DFS爲：

$X_p \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x_p ( n ) e ^ { - j k \Omega_ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1$

$x_p ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X_p \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }$

當 $X_p \left( k \Omega _ { 0 } \right)$ 和 $x _ { p } ( n )$ 都取主值區間 $0 \leq k \leq N - 1$ ，則：

$X \left( k \Omega _ { 0 } \right) = \frac { 1 } { N } \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j k \Omega_ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1$

$x ( n ) = \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \Omega _ { 0 } \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }$

將上式乘以，用頻譜密度來表示，簡稱頻譜：

$X \left( k \right) =\sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { - j k \Omega_ { 0 } n } \quad k = 0,1,2 , \cdots , N - 1$

$x ( n ) =\frac{1}{N} \sum _ { k = 0 } ^ { N - 1 } X \left( k \right) e ^ { j k \Omega _ { 0 } n }$

因爲 $X \left( k \right)$ 是頻譜密度，所以，當時， $X \left( k \right)$ 對應的頻率分量的波形峯值是 $\left |X \left( k \right) \right |\cdot N$ ，當 $k\neq 0$ 時， $X \left( k \right)$ 對應的頻率分量的波形峯值是 $\frac{\left |X \left( k \right) \right |\cdot N}{2}$ 。因爲負頻率的和正頻率共軛，所以當爲偶數時，只給個點的頻譜，最後一個點的頻率爲二分之一的採樣頻率，當爲奇數時，只給 $\frac{N+1}{2}$ 個點的頻譜，最後一個點的頻率稍小於二分之一的採樣頻率。

五、奈奎斯特頻率，頻譜混疊和泄露

採樣信號爲

$x _ { s } ( t ) = x ( t ) \delta _ { \mathrm { T } } ( t ) = x ( t ) \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } \delta \left( t - n T _ { s } \right) = \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } x \left( n T _ { s } \right) \delta \left( t - n T _ { s } \right)$

對其做傅里葉變換得：

$X_ { s } \left( \omega \right) = \frac { 1 } { T_ { s } } \sum _ { n = - \infty } ^ { \infty } X \left( \omega - n \omega _ { s } \right)$

可知採樣信號的傅里葉變換爲原連續信號傅里葉變換週期延拓到以 $\pm \omega _ { s } , \pm 2 \omega _ { s },\cdots$ 爲中心的頻譜， $\omega _ { s }$ 爲採樣角頻率，奈奎斯特頻率（Nyquist頻率）是採樣頻率的一半，原信號傅里葉變換頻譜的邊緣是它本身的最高頻率 $\omega _ { m }$ ，容易看出來當 $\omega _ { s }\geqslant 2\omega _ { m }$ 纔不會發生頻譜混疊，也就是說奈奎斯特頻率大於 $\omega _ { m }$ 即可。

頻譜泄露，就是比如本來只有頻率爲 $\frac{1}{2}Hz$ 的分量，但是頻譜中出現了和 $\frac{1}{2}Hz$ 相近的分量。舉個例子說明吧。

比如說有一段連續的週期信號，週期爲2s，那麼這段連續週期信號的傅里葉變換的基頻 $f_0=\frac{1}{2}$ （就是上一篇博客的基本角頻率 $\omega _0$ ，其他頻率分量的角頻率都爲 $\omega _0$ 的倍數， $f_0=\frac{\omega _0}{2\pi}$ ），也就是說其他頻率分量的頻率都是 $f_0=\frac{1}{2}$ 的整數倍，如果我們就截斷2s的信號，那截斷以後就是連續非週期信號了，那就要先週期延拓再做傅里葉變換，週期延拓後和截斷前的信號一致，傅里葉變換也一致，頻譜爲一條線（在基頻處有個分量）。如果截斷4s的信號，週期延拓後和截斷前的信號一致，傅里葉變換的基頻爲 $\frac{1}{4}$ ，那麼頻譜爲一條線（在二倍頻處有個分量），幅值與原來相同。但是如果截斷3s的信號，週期延拓後在3s處有跳躍，容易產生高頻分量，而且重要的是，傅里葉變換的基頻爲 $\frac{1}{3}$ ，按道理說頻譜應該在1.5倍頻處有個幅值，但是頻譜中沒有1.5倍頻，只有1倍頻，2倍頻，那麼頻譜就會以1.5爲中心的其他整數倍頻處有分量，越靠近1.5幅值越大，和原來的不一致了！這就是頻譜泄露！如下圖所示：

根本解決方法是必須取自一個基本週期或基本週期的整數倍爲宜。但有的時候我們截斷的時候不知道基本週期，這時可以加長截取時間段，信號多一點能多代表一下整段信號吧，也可以加漢明窗等等窗函數，窗函數主要是減少旁瓣。可以參考下面幾個網址看細緻的分析和圖，內容都類似，總有一個能打開：

http://www.ni.com/white-paper/4844/zhs/

https://zhuanlan.zhihu.com/p/24318554

http://zhangzhenyuan163.blog.163.com/blog/static/85819389201410112942281/

http://www.ilovematlab.cn/thread-30099-1-1.html

http://www.chinaaet.com/article/15991

六、舉個DFT的例子吧，通俗解釋一下

1. 採樣得到一段離散的信號，用包含100個數字的數字序列表示，其中前12個數字如下所示：

1.00, 0.62, -0.07, -0.87, -1.51, -1.81, -1.70, -1.24, -0.64, -0.15, 0.05, -0.10

我們將上述數字序列用 $x\left ( n \right )$ 表示，爲某個數字在序列中的下標，如，等。這裏我們期待使用的信號是零均值信號，即數字序列的平均值爲0，相當於每個數字減去了數字序列的平均值（下文會解釋爲什麼這樣做）。

我們希望求得一系列頻率分量，將信號從時域轉化到頻域，使得上述數字序列爲一系列頻率分量之和。

2. 其次，什麼是信號相關性？

下面這個公式不是嚴格意義上的相關性計算公式，只能說是在信號是零均值的情況下，一定程度上能反應相關性。

$\sum _ { i = 0 } ^ { N } x ( i ) y ( i )$

有兩個信號和，在信號是零均值的情況下，一定程度上他們越相關（比如同正同負），所求的和越大，但不絕對。例如下面的圖a相關性大，和大，圖b相關性小，和小。

3. 下面來解釋離散傅里葉變換的公式！

$X ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) e ^ { -j 2 \pi k n / N },k=0,1,\cdots ,N-1$

代表的是某個頻率分量的係數，這個式子很想上面求相關性的式子呀，求得是和 $e ^ { - j2 \pi k n / N }$ 的相關性，那到底是什麼意思呢？先引入歐拉公式：

$e ^ { - j \theta } = \cos \theta - j \sin \theta$

令 $\theta = 2 \pi k n / N$ ，則：

$X ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) ( \cos ( 2 \pi k n / N ) - j\sin ( 2 \pi k n / N ) )$

$X ( k ) = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi k n } { N } \right) - j \left[ \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi k n } { N } \right) \right]$

可以看到是個複數，被分爲兩部分，實軸爲和某個頻率的餘弦函數的相關性，虛軸爲和某個頻率的正弦函數的相關性。

4. 當變化的時候，上述相關性的意義到底是什麼呢？

，

$\begin{aligned} X ( 0 ) & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi 0 n } { N } \right) + j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi 0 n } { N } \right) \\ & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) +j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } 0 \end{aligned}$

意味着當分量頻率爲0的時候（即爲一條直線），該分量的係數爲數字序列中所有數字之和。

，

$\begin{aligned} X ( 1 ) & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi 1 n } { N } \right) +j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi 1 n } { N } \right) \\ \end{aligned}$

$\cos \left( \frac { 2 \pi 1 n } { N } \right)$ 代表什麼？當從到的時候， $\frac { 2 \pi 1 n } { N }$ 從0到 $2 \pi$ 呀！這代表了所有的採樣點僅代表一個週期！看下圖a，正弦波是不是隻有一個週期。圖b代表上式的實數部分，圖c代表上式的虛數部分。

，

$\begin{aligned} X ( 1 ) & = \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \cos \left( \frac { 2 \pi 3 n } { N } \right) + j \sum _ { n = 0 } ^ { N - 1 } x ( n ) \sin \left( \frac { 2 \pi 3 n } { N } \right) \\ \end{aligned}$

$\cos \left( \frac { 2 \pi 3 n } { N } \right)$ 代表什麼？當從到的時候， $\frac { 2 \pi 3 n } { N }$ 從0到 $6 \pi$ 呀！這代表了所有的採樣點僅代表三個週期（ $2 \pi\ast 3$ 可不就是三個週期嗎）！看下圖a，正弦波是不是隻有三個週期。

，所有的個採樣點代表了個週期，約等於1個採樣點代表一個週期，那麼這個分量的週期是不是等於約採樣週期了！這個分量的頻率是不是約等於採樣頻率了！

這時你再回看一下，，，有沒有發現，當從0到時，頻率分量的頻率從0到了！並且對應的分量頻率爲 $f = \frac { k \times \mathrm { f_s } } { N }$ ，均勻分佈哦！這個結論很重要哦！在求MFCC特徵時會用到！

5.能量密度譜

能量密度譜爲

$E\left ( k \right )= \frac{\operatorname { Re } ( X ( k ) ) ^ { 2 } + \operatorname { Im } ( X ( k ) ) ^ { 2 }}{N}$

看上面的帕斯瓦爾公式。

上面已經解釋過（具體的證明類似連續信號中的證明），當 $x\left ( n \right )$ 均爲實數時，負頻率的（對應的 $\pi$ 到 $2\pi$ ，或者說 $-\pi$ 到0）是正頻率（對應的0到 $\pi$ ）的共軛，即，基於成軸對稱。比如說做一個的DFT，因爲負頻率的和正頻率共軛，所以只給個點的頻譜，即257，因爲多給沒有意義啊，共軛的模是一樣的。