矩陣論（補充知識）：特徵多項式的展開式

國內線性代數教材上關於n階矩陣$A$的特徵多項式的係數只講了常數項、n-1次項和n次項的，分別爲$(-1)^ndet(A),-tr(A),1$。一直很好奇其他項的係數是什麼樣的。查資料知有如下定理：

• 定理：設$A\in C^{n\times n}$，則$A$的特徵多項式$det(\lambda I-A)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+...+a_{n-1}\lambda+a_n$，其中$n-k$次項的係數$a_k=(-1)^kp_k$，$p_k$爲$A$的全部$k$階主子式之和

其中，主子式的定義如下：

• 定義：主子式：設$A=(a_{ij})_{n\times n}$，$1\leqslant i_1\lt i_2\lt \cdots \lt i_k\leqslant n$，稱$A\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\i_1&i_2&\cdots&i_k\end{pmatrix}=\begin{bmatrix}a_{i_1i_1}&a_{i_1i_2}&\cdots&a_{i_1i_k}\\a_{i_2i_1}&a_{i_2i_2}&\cdots&a_{i_2i_k}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{i_ki_1}&a_{i_ki_2}&\cdots&a_{i_ki_k}\end{bmatrix}$爲A的一個k階主子矩陣，其行列式爲A的k階主子式
  【注】主子式的一個重要特點是取$A$中的哪幾行，就得對應地取$A$中的哪幾列，這樣行列相交處的元素取出來纔是一個主子式。例如$A$的一階主子式有n個，均爲$A$的主對角線上的元素，$A$的$n$階主子式只有1個，爲$det(A)$。

知道這個定理，應用是沒問題的，但要知道怎麼證，就有點麻煩了。用google搜了半天，沒找到一個既正確又容易看懂的證明，最後沒想到用百度搜到了幾個國內學者的證明，比較簡明易懂。下面用兩種方法證明該定理。

（這裏補充一個顯而易見的推論）

• 推論：設$A\in C^{n\times n}$，則$det(\lambda I+A)=\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}+...+p_{n-1}\lambda+p_n$，其中$n-k$次項的係數$p_k$爲$A$的全部$k$階主子式之和
  證明：
  由上述定理可得，$\begin{aligned}det(\lambda I +A)&=det(\lambda I-(-A))\\&=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+a_2\lambda^{n-2}+...+a_{n-1}\lambda+a_n\\&=\lambda^n+(-1)^1(-1)^1p_1\lambda^{n-1}+(-1)^2(-1)^2p_2\lambda^{n-2}+...+(-1)^{n-1}(-1)^{n-1}p_{n-1}\lambda+a_n\\&=\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}+...+p_{n-1}\lambda+p_n\end{aligned}$其中，$a_k$爲$-A$的全部$k$階主子式之和的$(-1)^k$倍。

方法1

• 定義：設$A\in C^{n\times n}$，固定$-A$的某$k$列元素不動，其他列上對角線位置元素填$\lambda$，非對角線位置元素填$0$，這樣得到的矩陣的行列式稱爲$A$的一個$n-k$列正規代換式。
  例：圖中是$A$的一個$2$列正規代換式，其中$-A$的第2列和第$n$列被代換了，而其他列均不變。
  
  接下來我們通過行列式暴力展開的方式（差不多就是暴力展開吧）來證明定理：
  首先，爲了方便，我們將$A$的全部$k$階主子式按照任意指定的一種順序排列。設$A$的$k$階主子式有$N(k)$個，顯然$N(k)=C_n^k$，將它們記爲$M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))$。接下來，我們將$A$的$n-k$列正規代換式與$A$的$k$階主子式對應起來，對應方式爲：設$A$的某$n-k$列正規代換式是將$-A$的第$i_1<i_2<...<i_k$列保持不變，而將其餘列進行代換得到的，那麼該正規代換式對應的主子式爲$A\begin{pmatrix}i_1&i_2&\cdots&i_k\\i_1&i_2&\cdots&i_k\end{pmatrix}$即取$A$的第$i_1<i_2<...<i_k$行和相應列的交叉位置上的元素構成的行列式。顯然該對應關係是一一對應。於是，針對$A$的$k$階主子式的一個排列$M(k,1),M(k,2),...,M(k,N(k))$，我們根據上述的對應關係，可以得到$A$的$n-k$列正規代換式的一個排列，記爲$A(n-k,1),A(n-k,2),...,A(n-k,N(k))$。並且，如果我們將正規代換式按照被代換的列進行展開，就能得到如下關係：$A(n-k,i)=(-1)^k\lambda^{n-k}M(k,i),i=1,2,...,N(k)$例如，對於上面舉的$2$列正規代換式的例子，先按照第2列展開，再按照最後一列展開，即可發現其與相對應的主子式之間的關係。
  接下來，利用行列式的性質對特徵多項式進行暴力展開：$\begin{aligned}det(\lambda I-A)&=\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&0-a_{12}&\cdots&0-a_{1n}\\0-a_{21}&\lambda-a_{22}&\cdots&0-a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0-a_{n1}&0-a_{n2}&\cdots&\lambda-a_{nn}\end{vmatrix}\end{aligned}$上述行列式的每個元素都是兩個元素相減的形式，利用行列式的加法性質，將該行列式的每一列展開，最終將得到$2^n$個行列式（$det(\lambda I-A)$有n列，每展開一列，行列式的總數就翻倍）。注意，這$2^n$個行列式均具備如下特徵：任取其中一列，例如第$i$列，則只有兩種可能，即取出來的要麼是$-A$的第$i$列，要麼滿足第$i$個元素爲$\lambda$，而該列的其他元素均爲零。例如下述行列式就在這$2^n$個行列式中：$\begin{vmatrix}-a_{11}&0&\cdots&-a_{1,n-1}&0\\-a_{21}&\lambda&\cdots&-a_{2,n-1}&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\-a_{n1}&0&\cdots&-a_{n,n-1}&\lambda\end{vmatrix}$這不就是$A$的正規代換式嗎？舉個$n=3$的例子：$\begin{aligned}\begin{vmatrix}\lambda-a_{11}&0-a_{12}&0-a_{13}\\0-a_{21}&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\0-a_{31}&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}&=\begin{vmatrix}\lambda&0-a_{12}&0-a_{13}\\0&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\0&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0-a_{12}&0-a_{13}\\-a_{21}&\lambda-a_{22}&0-a_{23}\\-a_{31}&0-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda&0&0-a_{13}\\0&\lambda&0-a_{23}\\0&0&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&-a_{12}&0-a_{13}\\0&-a_{22}&0-a_{23}\\0&-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0&0-a_{13}\\-a_{21}&\lambda&0-a_{23}\\-a_{31}&0&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}-a_{11}&-a_{12}&0-a_{13}\\-a_{21}&-a_{22}&0-a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&\lambda-a_{33}\end{vmatrix}\\&=\begin{vmatrix}\lambda&0&0\\0&\lambda&0\\0&0&\lambda\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&0&-a_{13}\\0&\lambda&-a_{23}\\0&0&-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}\lambda&-a_{12}&0\\0&-a_{22}&0\\0&-a_{32}&\lambda\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}\lambda&-a_{12}&-a_{13}\\0&-a_{22}&-a_{23}\\0&-a_{32}&-a_{33}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0&0\\-a_{21}&\lambda&0\\-a_{31}&0&\lambda\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&0&-a_{13}\\-a_{21}&\lambda&-a_{23}\\-a_{31}&0&-a_{33}\end{vmatrix}\\&+\begin{vmatrix}-a_{11}&-a_{12}&0\\-a_{21}&-a_{22}&0\\-a_{31}&-a_{32}&\lambda\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}-a_{11}&-a_{12}&-a_{13}\\-a_{21}&-a_{22}&-a_{23}\\-a_{31}&-a_{32}&-a_{33}\end{vmatrix}\end{aligned}$
  可見，我們可以通過行列式的加法性質，將特徵多項式展開成$A$的全部正規代換式之和。於是有$\begin{aligned}det(\lambda I-A)&=A(n,1)+A(n-1,1)+A(n-1,2)+..+A(n-1,n)\\&+A(n-2,1)+A(n-2,2)+...+A(n-2,N(2))\\&+...+A(1,1)+A(1,2)+...+A(1,n)+A(0,1)\\&=\lambda^n+(-1)^1(M(1,1)+M(1,2)+..+M(1,n))\lambda^{n-1}\\&+(-1)^2(M(2,1)+M(2,2)+...+M(2,N(2)))\lambda^{n-2}\\&+...+(-1)^{n-1}(M(n-1,1)+M(n-1,2)+...+M(n-1,n))\lambda+(-1)^ndet(A)\end{aligned}$這就證明了$\lambda^{n-k}$的係數爲$(-1)^kp_k$，其中$p_k=\sum_{i=1}^{N(k)}M(k,i)$爲$A$的全部$k$階主子式之和。

方法2

方法2是利用複合陣（compound matrix）的性質去證明的，但由於複合陣的性質本身具有一定的複雜性，所以有點大材小用的感覺。。。感興趣的同學可以參考下面的參考文獻2，以及維基百科。

參考文獻：
1、王莉.n階矩陣的特徵多項式的一般項係數[J].鞍山師範學院學報,1988(04):4-6.
（鏈接：http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=045718b9e25184a576eb98aa8c8e44ca&site=xueshu_se）
2、李巍,胡方景.關於矩陣的特徵多項式的展開式[J].青海師專學報,2001(06):8-10.
（鏈接：https://www.ixueshu.com/document/87cdb46781e796a8318947a18e7f9386.html）