使用“初中知識”實現查找重複最優算法 + 最終極限算法

 

這是園子裏討論了好長時間的題目了：
1-1000放在含有1001個元素的數組中，只有唯一的一個元素值重複，其它均只出現一次。每個數組元素只能訪問一次，設計一個算法，將它找出來；不用輔助存儲空間，能否設計一個算法實現？
發起文章：算法題,求高手. 作者： 莫貝特(MBetter) 
算法改進：利用異或的特性解決，找出重複數的問題，應該是目前最優算法。  作者：Ivony...

莫貝特給出的算法是：將所有數加起來，減去1+2+...+1000的和
Ivony給出的算法是:  將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數
兩位算法的時間複雜度都是: 2n (莫貝特的算法可以用高斯算法簡化)

我把題目擴展了一下，將1000換成n，讓些題更通用一些：
1-n放在含有n+1個元素的數組中，只有唯一的一個元素值重複，其它均只出現一次。每個數組元素只能訪問一次，設計一個算法，將它找出來；不用輔助存儲空間，能否設計一個算法實現？（n可能爲奇數）（注意：數組是無序的，有序數組很好解決不討論）

下面是我的算法，先給出代碼，c#語言

        /**//// <summary>
        /// 查找重複的數
        /// </summary>
        /// <param name="ints">1..n無序序列加上1..n之間的一個數</param>
        /// <returns>重複的數</returns>
        public static int GetRepeated(int[] array)
        {
            int temp = 0;
            foreach (int i in array)
                if (i % 2 == 1) temp += i + 1;
                else temp -= i;
            if (array.Length % 2 == 0) temp -= array.Length;//n爲奇數要處理一下
            return temp < 0 ? -temp : temp - 1;
        }

原理如下（n爲偶數時）：
(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+....+(n-1 - n)  等於多少？先不管，再改進一下
((1+1)-2)+((3+1)-4)+((4+1)-5)+((5+1)-6)+...+((n-1+1) - n) 等於多少？零！這個公式證明初中生都會！

這是有序序列，對無序的情況我們可以這樣理解：從數組中依次讀數，如果讀到是奇數則加上再加1,如果偶數則減去。
和代碼中的foreach對照一下吧，應該比較好理解！
函數中倒數第二行對n是奇數的情況作了些處理。

最後返回處理：
      如果重複的數是偶數，則肯定被減了，則返回它的負值-temp;
      如果重複的數是奇數，則肯定被加了，而且還多加了1, 返回 temp-1。

這個算法時間複雜度是n，空間複雜度是1，代碼行數是6，原理也簡單。

利用初中（小學奧賽估計也會）的知識解決一個算法問題，感覺算不上高手。只能感嘆我們以前的知識忘記了太多了！

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剛纔又看前面兩篇帖子的回覆，發現了loogn 提供的一個算法，本人修正了一下：

        public static int GetRepeated2(int[] array)
        {
            int temp = 0;
            for (int i = 0; i < array.Length; i++)
                temp += array[i] - i ;
            return temp;
        }

算法原理：改進莫貝特的算法，加減加減加減...，而不是（加加加...）減（加加加...）。出現溢出的可能性也小了很多！
更是精簡，強人！！

不甘落後，我用lambda再改進一下：

        public static int GetRepeated3(int[] array)
        {
            return array.Select((i, j) => i - j).Sum();
        }

簡單說明一下：
      方法三中的“i”相當與方法二中的“array[i]”；
      方法三中的“j”相當於方法二中的“i”

其它大可不必寫成一個函數，像下面這樣直接調用就好了，也算是最後的極限算法了。

    int repeatedNum = array.Select((i, j) => i - j).Sum();

array就是包含n+1個數的數組，repeatedNum就是其中唯一重複的數。這應該是極限了吧!