使用“初中知识”实现查找重复最优算法 + 最终极限算法

 

这是园子里讨论了好长时间的题目了：
1-1000放在含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？
发起文章：算法题,求高手. 作者： 莫贝特(MBetter) 
算法改进：利用异或的特性解决，找出重复数的问题，应该是目前最优算法。  作者：Ivony...

莫贝特给出的算法是：将所有数加起来，减去1+2+...+1000的和
Ivony给出的算法是:  将所有的数全部异或，得到的结果与1^2^3^...^1000的结果进行异或，得到的结果就是重复数
两位算法的时间复杂度都是: 2n (莫贝特的算法可以用高斯算法简化)

我把题目扩展了一下，将1000换成n，让些题更通用一些：
1-n放在含有n+1个元素的数组中，只有唯一的一个元素值重复，其它均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来；不用辅助存储空间，能否设计一个算法实现？（n可能为奇数）（注意：数组是无序的，有序数组很好解决不讨论）

下面是我的算法，先给出代码，c#语言

        /**//// <summary>
        /// 查找重复的数
        /// </summary>
        /// <param name="ints">1..n无序序列加上1..n之间的一个数</param>
        /// <returns>重复的数</returns>
        public static int GetRepeated(int[] array)
        {
            int temp = 0;
            foreach (int i in array)
                if (i % 2 == 1) temp += i + 1;
                else temp -= i;
            if (array.Length % 2 == 0) temp -= array.Length;//n为奇数要处理一下
            return temp < 0 ? -temp : temp - 1;
        }

原理如下（n为偶数时）：
(1-2)+(3-4)+(5-6)+(7-8)+....+(n-1 - n)  等于多少？先不管，再改进一下
((1+1)-2)+((3+1)-4)+((4+1)-5)+((5+1)-6)+...+((n-1+1) - n) 等于多少？零！这个公式证明初中生都会！

这是有序序列，对无序的情况我们可以这样理解：从数组中依次读数，如果读到是奇数则加上再加1,如果偶数则减去。
和代码中的foreach对照一下吧，应该比较好理解！
函数中倒数第二行对n是奇数的情况作了些处理。

最后返回处理：
      如果重复的数是偶数，则肯定被减了，则返回它的负值-temp;
      如果重复的数是奇数，则肯定被加了，而且还多加了1, 返回 temp-1。

这个算法时间复杂度是n，空间复杂度是1，代码行数是6，原理也简单。

利用初中（小学奥赛估计也会）的知识解决一个算法问题，感觉算不上高手。只能感叹我们以前的知识忘记了太多了！

----------------------------------------------------------------------------------------------------------
刚才又看前面两篇帖子的回复，发现了loogn 提供的一个算法，本人修正了一下：

        public static int GetRepeated2(int[] array)
        {
            int temp = 0;
            for (int i = 0; i < array.Length; i++)
                temp += array[i] - i ;
            return temp;
        }

算法原理：改进莫贝特的算法，加减加减加减...，而不是（加加加...）减（加加加...）。出现溢出的可能性也小了很多！
更是精简，强人！！

不甘落后，我用lambda再改进一下：

        public static int GetRepeated3(int[] array)
        {
            return array.Select((i, j) => i - j).Sum();
        }

简单说明一下：
      方法三中的“i”相当与方法二中的“array[i]”；
      方法三中的“j”相当于方法二中的“i”

其它大可不必写成一个函数，像下面这样直接调用就好了，也算是最后的极限算法了。

    int repeatedNum = array.Select((i, j) => i - j).Sum();

array就是包含n+1个数的数组，repeatedNum就是其中唯一重复的数。这应该是极限了吧!