中值定理與導數應用 微分中值定理 零點定理 函數的單調性、極值與最值 函數的凹凸性與拐點 漸近線 利用單調性證明不等式和根的存在性 恆等式的證明

微分中值定理

羅爾定理

以法國數學家米歇爾·羅爾命名的羅爾中值定理（英語：Rolle's theorem）是微分學中一條重要的定理，是三大微分中值定理之一，敘述如下：

如果函數f(x)滿足：

（1）、在閉區間[a, b]上連續（沒有斷點）

（2）、在開區間[a, b]上可導（光滑的）

（3）、f(a) = f(b)

則（也就是說平行於X軸）

注意

若是有給出了可以優先考慮一下，用羅爾定理

證明題解法

步驟:

        （1）、構造函數f(x)

        （2）、驗證3個條件

        （3）、由羅爾定理可知，         

例題一

思路：若是細膩一點，就可以看出下面那條是上面那條方程的的導數函數，即是：。所以，最終也是讓你證明是羅爾定理，最終得出結論從而證明出這題。

例題二

思路：我們可以看到，這個又是連續又是可導，可以猜出這可能又是與羅爾定理有關的。但是呢這裏的，又不符合的樣子？別急，我可以把式子變爲.這樣的話又符合了。最後按照一步步證明得，這是一個羅爾定理，最後證明得結果 

拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理，也簡稱均值定理，是以法國數學家約瑟夫·拉格朗日命名，爲羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理。

如果滿足：

1、在上連續;

2、在內可微分（可導）；0

那麼至少有一點 使下面等式成立

即是

圖像

證明題解法

步驟：

        構造函數f(x)

        驗證2個條件

        由拉爾定理可知，下結論，對結論式子變形

例題1

解法：我第一次看這種題型的時候也是一臉的懵逼的，不知如何下手。但是在仔細觀察的話，可以發現，只要把,可以變形一下，然後再再把不不等式左右兩邊改變一下。最後就可以看出是一個拉格朗日中值定理函數，最後在進行運算 ，得出結果。

例題2

思路：下看到這種題型，一定要瞬間明白這是要讓你證明拉格朗日。按上一題的思路是一樣的。

放出步驟：

                    構造函數f(x)

                    驗證2個條件

                    由拉爾定理可知，下結論，對結論式子變形

證明：

令

顯然可以看出在區間   上連續， 在開區間可導。所以這是一個符合拉格朗日的函數。

由拉格朗日定理可知，使得

(現在從左邊範圍推出右邊範圍)

所以

所以

所以 

例題3

思路：一看這題目，可以很明顯的看出可能又是要拉格朗定理有關，只要我們變變形就可以了。這邊不掩飾。

零點定理

        設函數閉區間內連續，,則存在區間至少存在一點，使得:

函數的單調性、極值與最值

1、單調性

(1）判定方法：

        

       

（2）討論單調性(單調區間)的步驟

           ①、求定義域

           ②、求出 和 不存在的點，講定義域劃分若干個子區間

           ③、列表，根據在子區間內的符號，確定單調性。

2. 極值

（1）極值的定義

，則爲極大值點，爲極大值

，則爲極小值點，爲極小值

（2）極值的判定

            ①、第一判定定理

                    

                     注：極值點是單調性的分界點，左右兩側f’(x)必然是異號 

            ②、第二判定定理

                

                            

                            

（3）駐點

若是，則爲的駐點

        注意：

若是爲f(x)的極值點，則或不存在

（5）求極值點和極值的步驟：

            ①、確定f(x)定義域

            ②、求導,並求出不存在的點

              ③、列表

例子1

求函數的單調區間和極值

解法：一般這種情況，都是都可以按照步驟來這樣很簡單都是可以求出來的，至於簡單的運算，就不展開講了。

3. 最值

步驟：

        ①、求出所以

        ②、求出①中所有點的函數值和端點處的函數值

        ③、

函數的凹凸性與拐點

凹凸性

    1、凹曲線：曲線上的任意點處的切線總位於曲線的下方

    2、凸曲線：曲線上的任意點處的切線總位於曲線的上方

凹凸性的判定

拐點

1、凹凸性的分界點稱爲拐點，記作 。拐點左右兩側必然異號.

2、若點是曲線

凹凸區間及拐點的求解步驟：

（1）、求出定義域

（2）、求出的點 

（3）、列表，由符號得出凹凸區間，凹凸區間的分界點即爲拐點

例子

思路：我們把它進行二次導以及找出定義域，最後令得出來的二階導函數小於0，得出取值範圍，再根據定義域得出最後的凸區間

漸近線

水平漸近線

若 則稱的一條水平漸近線。

函數趨近於無窮大時，是否是常數

垂直漸近線

，則稱是

利用單調性證明不等式和根的存在性

一、不等式的證明步驟：

（1）、構造函數f(x)

（2）、求導判斷單調性

（3）、大於最低點，小於最高點

例子1

思路：按我們大標題來說，我們應該用單調性來證明不等式根的存在性。這裏我們首先構造出一個函數，然後再求導得出他們的單調性最後在證明例子成立

所以有

因爲

所以

所以

所以

又因爲

所以

所以

二、唯一根的證明步驟

（1）、利用零點或羅爾定理證明至少有一個根

（2）、求導判斷函數單調性，得唯一根

例題1

思路：我們先用羅爾定理或者零點定理證明至少有一個跟，然後在求導，得出單調性以及無不存在點得唯一根。

例題2 

已知函數，試問方程在區間（0， +∞）有多少個實根

思路：這一個題目有點意思啊，我們可以按步驟一步步來，但是我們用零點定理來證明只至少有一個根時，考慮到定義域時，不是閉區間，所以要用來代替f(0), f(∞)

恆等式的證明

步驟：

（1）、構造函數

（2）、求導驗證

（3）、

例題