第三章一元積分學

第一節不定積分

原函數

若 $F{’}(x) = f(x)或dF(x) = f(x)dx$ ，則稱 $F(x)爲f(x)$ 的原函數

注：

（1） $若F(x)爲f(x)的一個原函數，則F(x)+C$ 是 $f(x)的全體原函數$

（2） $若F(x)、Φ(x)都是f(x)的原函數，則F(x) -Φ(x) = C$

不定積分（不定：全體；積分：原函數）

$求f(x)$ 全體原函數 $F(x)+C$ 的過程，稱爲 $f(x)$ 的不定積分：記作

$\int f(x)dx = F(x)+C$

其中 $\int$ 爲積分號， $f(x)$ 爲被積函數， $x$ 爲積分n變量， $F(x)爲f(x)的一個原函數$

注：（------------------------------------重點重點--------------------------------------------------------）

（1） $\int f(□)d□ = F(□)+C$ ；注：d就是微分，微分就是求導，所以在在需要改變 $d(□)的值時$ ，需要注意。

（2） $不定積分結果要加C$

例題

解法：根據 $\int f(□)d□ = F(□)+C$ 式子，可以看出 $\int f(2x)dx$ 。這裏面的 $f(□)跟d□中的□是不一樣的$ 。所以我們要把他變爲一樣 $\int f(2x)d(2x)$ 。上面說了 $d$ 是微積分其實就是求導。所以可以看出 $原式dx的□求導是1，改了後d(2x)的□求導是2$ .所以要在前面加上 $\frac{1}{2}$ ，即是 $\frac{1}{2} \int f(2x)d(2x)$ 。最後變爲 $\frac{1}{2}F(2x) + C$

不定積分的性質

$\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm \int g(x)dx$

$\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$

積分與微積分的關係

$[\int f(x)dx]{’} = f(x); d[\int f(x)dx] = f(x)dx$

$\int f{’}dx = f(x) + C；\int df(x) = fx() + c$

注：

①、積分與微積分（求導）互爲逆運算，相遇就抵消

②、最外層求什麼，結果就帶什麼標誌： $(){’}:無； d():dx； \int(): +C$

積分基本公式

例子1

分析，我們先化簡爲類型是一樣的式子來，即是 $\frac{sin^2x + cos^2x}{sin^2x*cos^2x}$ 。然後再分開 $\frac{sin^2x}{sin^2x*cos^2x} + \frac{cos^2x}{sin^2x*cos^2x}$ ,化簡 $\frac{1}{cos^2x} + \frac{1}{sin^2x}$ ，然後再化簡 $sec^2x + csc^2x$ ，再化簡 $tanx - cotx$ 。

三角函數：（次數降1，角度翻倍）

例子2

分析：一眼就可以看出，我們需要化簡的是分子，但是 $cos2x$ 有三種表現形式，究竟用那種。這時候再看看分母就可以得出。應該這樣化簡 $\frac{cos^2x - sin^2x}{cosx - sinx}$ 化簡爲 $cosx + sinx$ 。所以 $……$

不定積分的計算

第一換元法（湊微分）微分->導數

（1） $\int f[\varphi (x)]\varphi ’(x)dx = \int f[\varphi (x)]d\varphi (x) = F[\varphi (x)]+C$

看簡單的有沒有複雜的某一部分導。若是有，那麼簡單的就是他的微了

（2）常用的湊微分

$①、dx = \frac{1}{a}d(ax) = \frac{1}{a}d(ax +b) ；$ $②、xdx = \frac{1}{2}d(x^2) ；$ $③、x^2dx = \frac{1}{3}d(x^3) ；$

$④、\frac{1}{1 + x^2}dx = d(arctanx) ；$ $⑤、\frac{1}{x}dx = d(ln|x|) ；$ $⑥、e^xdx = d(e^x)；$

$⑦、cosxdx = d(sinx)；$ $sinxdx = d(-cosx)；$

例一

分析： $\int cos2xdx = \frac{1}{2} \int cos{2x}d2x = \frac{1}{2} sin2x + C$

例二

分析：

$\int xcosx^2dx = \frac{1}{2} \int cosx^2dx^2 = \frac{1}{2} sinx^2 + C$

例三

分析：我們把複雜的求導，可以看出分母是比分子複雜的，而且分子也是分母求導後的一部分，所以： $\int\frac{x}{1+x^2} = \frac{1}{2} \int\frac{x}{1+x^2}d(1+x^2 ) =\frac{1}{2}ln(1 +x^2)+C$

例四

分析：是否能看成一個整體性很重要： $\int sin^2xcosxdx = \int sin^2x dsinx = \frac{1}{3}sin^3x +C$

例五

分析。。誰複雜，就誰是導的那個。。所以： $\int \frac{arc\tan x }{1+x^2}dx =\int arc\ tan x\ d(arc\ tanx) = \frac{1}{2}(arc\ tan^2x)+C$

例六

選D，分析：只有導數被積分了，才能得到原式排除AB，然後再簡單計算一下，就可以得到選項D

有理分式積分

（1）分子次數 >= 分母次數 $\Rightarrow$ 對分子加減項（+1、-1）和分母相消。

例： $\int \frac{x^2}{x^2 + 1}dx$

（2）分子次數 <分母次數 $\Rightarrow$ 湊微分

例： $\int \frac{x + 1}{x^2 + 2x}dx$

例： $\int \frac{x+2}{x^2 + 2x + 2}\ dx$

= $\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2 +2x + 2}d(x^2+ 2x + 2) + \int \frac{1}{x^2 + 2x+2}dx =$ $\frac{1}{2} ln|x^2 + 2x + 2| + \int \frac{1}{(x+1)^2+1}d(x+1)$ = $\frac{1}{2} ln|x^2 + 2x + 2| + arc\ tan(x+1) +C$

（3）分母可因式分解

例1

$\int \frac{1}{x^2 - 4x + 3} dx = \int \frac{1}{(x-1)(x-3)} dx = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-1} )dx = \frac{1}{2}(ln|x-3| - ln|x-1|) + C$ = ……

例2

= $5ln|x-2| - 3ln|x-1| + C$

例3

$\int \frac{x+3}{x^2 - 5x +6} dx = \int \frac{x+3}{(x-2)(x-3)} dx = \int (\frac{6}{x-3} - \frac{5}{x-2})dx =$

（4）分母不可因式分解（不能因式分解，就配方）

公式：

例題1： $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx$

$\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 +2}dx = \int \frac{1}{(x+1)^2 +(\sqrt{x})^2 }dx = \frac{\sqrt{2} }{2}arc\ tan\frac{(x+1)}{\sqrt{2} } + C$

第二還換元法

（1）含有 $\sqrt{} 、e^x令\sqrt{}、e^x =t$

例子1

（2）含有兩種或兩種以上 $\sqrt[n1]{}、\sqrt[n2]{}$

方法：令 $x = t^n（其中n爲n1、n2的最小公倍數）$

（3三角代換

$\sqrt{a^2 - x^2}:令x = asint$

$\sqrt{x^2 - a^2}:令x = asext$

$\sqrt{a^2 + x^2};令x = atant$

5、分部積分

公式： $\int\ u\ dv = uv - \int v\ du$

（1）步驟：①根據”反對冪三指“排序；②兩邊提取-調換位置

（2）適用：兩類函數相乘 $\text{[math]}$

例題1： $\int x\ e^xdx$

解題：可以看出該式子，就是由”反對冪三指“這三種函數組成的式子。可以看出：冪函數”x“比指數函數” $e^2$ “更靠前。所以 $e^x$ 是被微的對象，變爲： $\int x\ de^x$ 。既有 $\int x\ de^x = x\ e^x - \int e^x\ dx$ ……最後結果要加C

例題2： $\int xcosx\ dx$

解題：可以看出該式子，有冪函數” $x$ “，以及三角函數：“ $cos\ x$ ”。冪函數比三角函數排序靠前，所以就有了 $\int x\ d\ sinx$ ,所以然有了： $x\ sinx - \int sinx\ dx$ ,最後爲……

例題3： $\int x\ arctanx\ dx$

解題，前面題步驟直接跳過， $\frac{1}{2}[x\ arctanx - \int x^2 d(arctanx)] = \frac{1}{2} [x\ arctanx - \int x^2*\frac{1}{1 + x^2}dx ] = \frac{1}{2} [x\ arctanx - \int \frac{1+ x^2 - 1}{1 + x^2} dx$ 到這.。差不多，主要想理解d後的微積分是爲啥可以直接導出來。

例題4： $\int lnx\ dx$

思路：這個只有單個函數組成的式子，其實也可以變成兩個函數組成的式子，只需添加 $x^0$ 一個。當然最後變式子也是原式，所以也可以直接進行到，式子套進去運算的那一步就可以對象了

定積分

一. 定積分的的有關概念。

1、定積分：求曲邊梯形的面積

2、定積分的幾何意義

3、定積分的存在定理

（1）若是 $f(x)$ 上連續， $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 必存在。

（2）若 $f(x)$ 在[a, b]上有界，且只有有限個間斷點，則 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 必存在

二. 定積分的性質

1、估值定理（求範圍） ①若在[a, b]上， $m \leq f(x) \leq M；則有m(b-a) \leq \int f(x)dx \leq M(b- a)$

例題

解題思路：先找被積函數的範圍即是f(x)的範圍也就是所謂的高，然後再與長相乘，那就是整個定積分的範圍了

2、積分中值定理（平均值定理）

條件：若f(x)在[a, b]上連續

結論： $\exists \delta \epsilon [a, b], 使得：\int_{a}^{b} f(x)dx = f(\delta )(a - b)$ 。固有： $f(\delta )= \frac{\int_{a}^{b} f(x)dx }{(a - b)}$

3、對稱區間上的奇偶性（奇函數：原點對稱；偶函數：y軸毒對稱）

例題一： $\int_{-a}^{a}xe^{x^2} dx$

解析：此式子是奇*偶 = 奇，所以該式子是一個奇性，所以答案爲0.

例題二： $\int_{-1}^{1}x \ |x|dx$

解析：此式子是奇*偶 = 奇，所以該式子是一個奇性，所以答案爲0.

牛頓——萊布尼茨公式

$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(x)|_{a}^b= F(b) - F(a)$

注意：

① f(x)在[a, b]上連續

② 定積分結果不用再加C

例子: $\int_{1}^{2}\frac{1}{ x}dx$

解題：

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三、定積分的計算

第一換元法(湊微分)

例題一： $\int_{0}^{\pi } \sin \frac{x}{2}dx$

解題思路：這邊用到的是湊微分的方式 $\int_{0}^{\pi } \sin \frac{x}{2}dx = 2\int_{0}^{\pi } \sin \frac{x}{2}d\frac{x}{2}$

例題二

解題思路：我們可以看出 $\int_{0}^{4} f(\sqrt{x} )dx$ 是由 $\sqrt{x}$ 的，所以我們要考慮的是用到第二還原法。那麼我們直接化簡就可以化成 $\int_{2}^{0} xf(x)dx = 4$ 的形式。那麼就可以看出最後的答案，得出最後的答案。。

例題三

解題思路：我們可以看出出題目的就是用了根號，所以我們使用第二換元法。

分部積分

公式： $\int\ u\ dv = uv - \int v\ du$

（1）步驟：①根據”反對冪三指“排序；②兩邊提取-調換位置，靠後的原函數要往後放。

（2）適用：兩類函數相乘

例題一：

結論：我們可以看到這個式子也有包含根號，所以先用第二換元法，然後再用分部積分，求出結論。

含有絕對值、分段函數求定積分

技巧：根據積分的可加性。在f(x) = 0處斷開，分成兩個不同區間的定積分。

例題一： $\int_{0}^{4} |x - 2|dx$

解題思路：我們首先要先得到f(x) = 0處的x值是爲2.然後分段，分成[0, 2], [2, 4]，然後再算算那個是負數。

例題二

解題思路：一般這種情況下，就先找到斷點

例題三

解題思路：我們首先要先換元，把x-2換成t，注意是，定積分的範圍也是要換的。然後找斷點，顯然，這裏的斷點是0。所以，我們就可以根據這樣的式子，最後計算得出我們的結果了

含有定積分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 的方程求 $\int_{a}^{b} f(x)dx$

步驟：

① $令\int_{a}^{b} dx = A;$

②兩邊同時取 $\int_{a}^{b}$ ，(注意新產生的A)

例題一

思路，我們先令 $\int_{0}^{2}f(x)dx$ = A，代入式子。再邊都取 $\int_{a}^{b}$ ，。注意新產生的A

變限積分

1、變限積分： $\int_{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x)}f(t)dt$

2、求導公式： $[\int_{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x)}]^{’} = f(\varphi _{2}(x) )*\varphi _{2}^{’} - f(\varphi _{1}(x) )*\varphi _{1}^{’}$

3、常考： $[\int_{\varphi _{1}(x) }^{\varphi _{2}(x)}]^{’} = f(x)$

3、注意：常數的求導都等零（0）。適用於上下限有一個未知數，

變化： $\frac{dy}{dx} = y{’} \Rightarrow \frac{d□}{dx} = □{’}\Rightarrow \frac{d}{dx} □= □{’}$

例子一： $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{2019}sint\ dt$

解題思路：我們如此可見，這是讓我們進行求導，然後我們套入公式得出答案，即可！

無窮區間上的廣義積分

定義：上限或下限出現∞的積分

注：如果結果存在，則該積分收斂，否則發散

例題一： $\int_{0}^{+∞} e^{-x}dx$

解題技巧：我們首先可以看到這個出現了∞，所以這是求，無窮廣義上的積分。，所以我們可以直接套入公式得出答案來，不過，我們首先要使用湊微分。

定積分的應用

求(封閉圖形)平面圖形的面積

例題一

解題思路，對於定積分的應用

第一步：我們先畫出圖形，根據關鍵點，交點來畫圖，並找出他們所圍的封閉圖形。

第二步：我們要判斷，我們切割是水平切割，還是垂直切割。那個方便那個了來。根據我們例題的圖形，我們要選擇的是水平切割，垂直切割會出現轉折點，會比較麻煩一點。

第三步：寫出定積分式子： $\int_{2}^{4}(y+4 - \frac{y^2}{2} )dy$ 。這邊我們要搞清楚在水平切割時，要分辨是誰再最右側的，那麼就是誰

求旋轉體的體積

原理：根據圓柱體的體積來算，即是底面積乘高。所以定積分的形式也是相當於第，面積乘高

例題一：

解題思路：我們可以根據自己所畫的圖，可以看出他麼出現了交點，也就是說有兩部分，曲線所旋轉的區域是不一樣的。所以我們必須要分開來。

圖形

根據圖形所得式子： $\int_{0}^{1}πx^2dx + \int_{1}^{2} π(2-x)^2dx$

例題二

解題思路。畫出我們的圖形，根據圖形我們可以看出，這個圖形就是空心圓錐體。

例三

解題思路：我們也可以看得出，這個圖形也是一個空心圓柱，我們要減去裏面的空心部分

例題三

解題思路：這裏由第一點不一樣的就是，該x是趨向於+∞的。所以在寫上下限的時候一定要不要弄錯。

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求平面曲線的弧長

原理：這個藉助了溝谷定理求出一小段的切線的距離(即弧長），然後我們通過無限的切割，足夠細的時候，他們就說過相等的。

例題一

解題思路：我們可以看出這是求[0, 1]的弧長的距離，代入公式，就可以求出。

插本高數學習筆記：一元微積分學 第三章一元積分學 第一節 不定積分 定積分

第三章一元積分學

第一節 不定積分

原函數

不定積分（不定：全體；積分：原函數）

例題

不定積分的性質

積分與微積分的關係

積分基本公式

例子1

例子2

不定積分的計算

第一換元法（湊微分）微分->導數

（2）常用的湊微分

例一

例二

例三

例四

例五

例六

有理分式積分

（1）分子次數 >= 分母次數 對分子加減項（+1、-1）和分母相消。

（2）分子次數 <分母次數湊微分

（3）分母可因式分解

（4）分母不可因式分解（不能因式分解，就配方）

例題1：

第二還換元法

（1）含有

例子1

（2）含有兩種或兩種以上

（3三角代換

5、分部積分

例題1：

例題2：

例題3：

例題4：

定積分

一. 定積分的的有關概念。

1、定積分：求曲邊梯形的面積

2、定積分的幾何意義

3、定積分的存在定理

二. 定積分的性質

1、估值定理（求範圍） ①若在[a, b]上，

例題

2、 積分中值定理（平均值定理）

3、對稱區間上的奇偶性（奇函數：原點對稱； 偶函數：y軸毒對稱）

例題一：

例題二：

牛頓——萊布尼茨公式

注意：

例子:

三、定積分的計算

第一換元法(湊微分)

分部積分

含有絕對值、分段函數求定積分

含有定積分的方程求

例題一

變限積分

例子一：

無窮區間上的廣義積分

例題一：

定積分的應用

求(封閉圖形)平面圖形的面積

例題一

求旋轉體的體積

例題一：

圖形

例題二

求平面曲線的弧長

插本高數學習筆記：一元微積分學第三章一元積分學第一節不定積分定積分

第一節不定積分

（1）分子次數 >= 分母次數 $\Rightarrow$ 對分子加減項（+1、-1）和分母相消。

（2）分子次數 <分母次數 $\Rightarrow$ 湊微分

例題1： $\int \frac{1}{x^2 + 2x + 3} dx$

（1）含有 $\sqrt{} 、e^x令\sqrt{}、e^x =t$

（2）含有兩種或兩種以上 $\sqrt[n1]{}、\sqrt[n2]{}$

例題1： $\int x\ e^xdx$

例題2： $\int xcosx\ dx$

例題3： $\int x\ arctanx\ dx$

例題4： $\int lnx\ dx$

1、估值定理（求範圍） ①若在[a, b]上， $m \leq f(x) \leq M；則有m(b-a) \leq \int f(x)dx \leq M(b- a)$

2、積分中值定理（平均值定理）

3、對稱區間上的奇偶性（奇函數：原點對稱；偶函數：y軸毒對稱）

例題一： $\int_{-a}^{a}xe^{x^2} dx$

例題二： $\int_{-1}^{1}x \ |x|dx$

例子: $\int_{1}^{2}\frac{1}{ x}dx$

含有定積分 $\int_{a}^{b} f(x)dx$ 的方程求 $\int_{a}^{b} f(x)dx$

例子一： $\frac{d}{dx} \int_{x^2}^{2019}sint\ dt$

例題一： $\int_{0}^{+∞} e^{-x}dx$