目錄
一、最大公約數和最小公倍數的概念
1.1、最大公約數：
最大公因數，也稱最大公約數、最大公因子，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個。
1.1.1、最大公約數基本概念：
如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關係，不能單獨存在。如只能說16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地說16是倍數，2是約數。
"倍"與"倍數"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內，相對於"約數"而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數。
幾個整數中公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記爲（12，16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記爲（12，15，18）=3。
1.2、求解最大公約數的方法：
求最大公約數有多種方法，常見的有質因數分解法（短除法）、輾轉相除法、更相減損法。
1.2.1、質因數分解法：把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數。
例如：求24和60的最大公約數，先分解質因數，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。
1.2.2、短除法：短除法求最大公約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質爲止，然後把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。
1.2.3、輾轉相除法， 又名歐幾里德算法（Euclidean algorithm），是求最大公約數的一種方法。它的具體做法是：用較小數除較大數，再用出現的餘數（第一餘數）去除除數，再用出現的餘數（第二餘數）去除第一餘數，如此反覆，直到最後餘數是0爲止。如果是求兩個數的最大公約數，那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。
例如，求（319，377）：
∵ 319÷377=0（餘319）
∴（319，377）=（377，319）；
∵ 377÷319=1（餘58）
∴（377，319）=（319，58）；
∵ 319÷58=5（餘29）
∴ （319，58）=（58，29）；
∵ 58÷29=2（餘0）
∴ （58，29）= 29；
∴ （319，377）=29。
1.2.4、更相減損法：也叫更相減損術，是出自《九章算術》的一種求最大公約數的算法，它原本是爲約分而設計的，但它適用於任何需要求最大公約數的場合。
第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等爲止。
則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。
其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。所以更相減損法也叫等值算法。
例如：用更相減損術求98與63的最大公約數。
解：由於63不是偶數，把98和63以大數減小數，並輾轉相減：
98-63=35
63-35=28
35-28=7
28-7=21
21-7=14
14-7=7
所以，98和63的最大公約數等於7。
2.1、最小公倍數：
兩個或多個整數公有的倍數叫做它們的公倍數，其中除0以外最小的一個公倍數就叫做這幾個整數的最小公倍數。
2.1.1、 求解最小公倍數的方法：
求解最小公倍數的方法有：分解質因數法和公式法(最小公倍數=兩數的乘積/最大公約（因）數)。
2.1.1.1、分解質因數：
先把這幾個數的質因數寫出來，最小公倍數等於它們所有的質因數的乘積（如果有幾個質因數相同，則比較兩數中哪個數有該質因數的個數較多，乘較多的次數）。
例如：求45和30的最小公倍數。
45=3*3*5
30=2*3*5
不同的質因數是2。5，3是他們兩者都有的質因數，由於45有兩個3，30只有一個3，所以計算最小公倍數的時候乘兩個3.
最小公倍數等於2*3*3*5=90
又例如：計算36和270的最小公倍數
36=2*2*3*3
270=2*3*3*3*5
不同的質因數是5。2這個質因數在36中比較多，爲兩個，所以乘兩次；3這個質因數在270個比較多，爲三個，所以乘三次。
最小公倍數等於2*2*3*3*3*5=540
20和40的最小公倍數是40
以上相關概念描述均摘自百度百科，僅供參考
二、Java代碼實現
2.1、用輾轉相除法實現：
解題思路： 用較小數除較大數，再用出現的餘數（第一餘數）去除除數，再用出現的餘數（第二餘數）去除第一餘數，如此反覆，直到最後餘數是0爲止。如果是求兩個數的最大公約數，那麼最後的除數就是這兩個數的最大公約數。
import java.util.Scanner;
/**
* 輾轉相除法求最大公約數，又名歐幾里德算法（Euclidean algorithm）和最小公倍數(公式法：最小公倍數=兩數的乘積/最大公約（因）數)
*/
public class Gcd {
public static void main(String[] args) {
System.out.println("請您分別輸入兩個正整數:");
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m = sc.nextInt();
int n = sc.nextInt();
System.out.println(m+"和"+n+"的最大公約數是:"+gcd(m,n));
System.out.println(m+"和"+n+"的最小公倍數是:"+m*n/gcd(m,n));
}
public static int gcd(int dividend,int divisor){ //dividend 被除數，divisor 除數
if(divisor<dividend){
dividend = dividend+divisor;
divisor = dividend-divisor;
dividend = dividend-divisor;
}
if(dividend==divisor) {
return 1;
}
while(dividend%divisor!=0) {
int temp = dividend%divisor;
dividend = divisor;
divisor = temp;
if(dividend%divisor==0){
break;
}
}
return divisor;
}
}
2.2、用更相減損法實現：
解題思路:
第一步：任意給定兩個正整數；判斷它們是否都是偶數。若是，則用2約簡；若不是則執行第二步。
第二步：以較大的數減較小的數，接着把所得的差與較小的數比較，並以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的減數和差相等爲止。 則第一步中約掉的若干個2與第二步中等數的乘積就是所求的最大公約數。 其中所說的“等數”，就是最大公約數。求“等數”的辦法是“更相減損”法。所以更相減損法也叫等值算法。
import java.util.Scanner;
/**
* 更相減損法求最大公約數和最小公倍數(公式法：最小公倍數=兩數的乘積/最大公約（因）數)
*/
public class Gcd {
public static void main(String[] args) {
System.out.println("請您分別輸入兩個正整數:");
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m = sc.nextInt();
int n = sc.nextInt();
System.out.println(m+"和"+n+"的最大公約數是:"+gcd(m,n));
System.out.println(m+"和"+n+"的最小公倍數是:"+m*n/gcd(m,n));
}
private static int gcd(int m, int n) {
int count = 0; //計數器
while(m%2==0 && n%2==0) { //第一步
m /= 2;
n /= 2;
count++;
}
if(m<n) { //m 被減數(較大數)，n 減數(較小數)
m = m+n;
n = m-n;
m = m-n;
}
if(m==n) {
return 1;
}
while(m-n!=n) { //第二步
int temp = m-n;
if(temp!=n){
if(temp>n) {
m = temp;
}else{
m = n;
n = temp;
}
}
if(n==temp) {
break;
}
}
if(count!=0) {
return 2*count*n;
}else {
return n;
}
}
}
2.3、用質因數分解法(短除法)實現：
import java.util.List;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Scanner;
/**
* 質因數分解法(短除法)求最大公約數和最小公倍數(公式法：最小公倍數=兩數的乘積/最大公約（因）數)
*/
public class Gcd {
public static void main(String[] args) {
System.out.println("請您分別輸入兩個正整數:");
Scanner sc = new Scanner(System.in);
int m = sc.nextInt();
int n = sc.nextInt();
System.out.println(m+"和"+n+"的最大公約數是:"+gcd(m,n));
System.out.println(m+"和"+n+"的最小公倍數是:"+m*n/gcd(m,n));
}
/**
* 求最大公約數方法
* @param m
* @param n
*/
private static int gcd(int m, int n) {
//list1集合和list2集合分別存放m和n分解的質因數
List<Integer> list1 = primeFactor(m);
List<Integer> list2 = primeFactor(n);
List<Integer> list3 = new ArrayList<Integer>(); //list3存放m和n分解的質因數中全部公有的質因數
int product = 1; //乘積
for(int i=0;i<list1.size();i++){
for(int j=0;j<list2.size();j++){
if(list1.get(i)==list2.get(j)){
list3.add(list2.get(j));
list2.remove(j);
break;
}
}
}
for(int i=0;i<list3.size();i++){
product *= list3.get(i);
}
return product;
}
/**
* 分解質因數方法
* @param num
* @return
*/
private static List<Integer> primeFactor(int num) {
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for(int k=2;k<=num;k++) {
while(num%k==0 && k!=num) {
num /= k;
list.add(k);
}
if(num==k) {
list.add(num);
break;
}
}
return list;
}
}
驗證結果：
